Soit l'équation

cos' »'

Axes de symétrie. En appliquant la méthode du n° 327, on trouve que l'axe polaire et la perpendiculaire à cet axe menée par le pôle sont deux axes de symétrie de la courbe. D’ailleurs, p reprenant les mômes valeurs quand on fait varier o> au delà de 2tc, il en résulte que la courbe se compose de quatre branches identiques, situées dans les quatre angles formés par ses axes de symétrie. Il suffit par conséquent de construire l’une des quatre

branches en faisant varier « de o à

Fig. 153.

Aspect de la courbe. Pourw=0, on a p=l. Donc la courbe passe par le point A (lig. 153), tel que 0A=1. Lorsque u croit, cosw diminue, et par suite p augmente.

Pour 0) = p = œ .

Soit M un point de la courbe. On a

d’où

OM ou p=ON.

COS w'

p est donc plus grand que ON ; donc la branche de courbe située dans l’angle LOX a ses points au delà de la perpendiculaire AD à l’axe polaire.

La courbe passe par les points

Asymptotes, p devenant infini pour «> = ^, cherchons si la courbe a des asymptotes perpendiculaires à l’axe polaire.

On a MP=psinQ —

sin (f “)

cos’i»

Or, on trouve MP = » pour to = Donc la courbe n’a pas

d’asymptotes perpendiculaires à l’axe polaire, et par suite elle n'en a aucune.

Tangente, On trouve

tang V

2tango>’

V désignant l’angle de la tangente à la courbe et du rayon vecteur. Pour o) = 0, tang V= œ . Donc, au point A, la tangente à la courbe est perpendiculaire à l’axe polaire.

w croissant, tang V diminue, et pour o> = |, tang V=0. Donc la

tangente lend à devenir de nouveau perpendiculaire à l’axe polaire, et par suite, la branche de courbe que nous considérons offre un point d’inflexion.

Point d’inflexion. Soit M le point d’inflexion dont nous venons de reconnaître l’existence. Pour déterminer ses coordonnées, j'observe gue l’angle a, que la tangente à la courbe fait avec l’axe polaire, atteint un minimum lorsque le point de contact est le point M. Cherchons donc la valeur de w qui rend « minimum. On a

... .... tang oi 4- tang V

a = u>-f-V, dou tanga=- = — ,

1 — tang <« tang \

et, à cause de tang V

2 tang w tang a = 2 tang w

, il vient

tang u

DISCUSSION DES COURBES

Les deux parties dont se compose tang « ayant un produit constant, leur somme, d’après un théorème connu, sera minimum lorsqu'on aura

2tang<u = r , dou tangu=ï— .

° tangoi ° 2

Ou trouve w = 26° 33' 30' et p = f .

Exercices. Le lecteur pourra s’exercer sur les exemples donnés page 304 et sur les suivants :

p— .1 — Jcos6w* p — l— ^cosjjw’ p— 1— tango»'