RACINES RÉELLES DES EQUATIONS

$ 1. Dt! NOMBRE DES CONDITIONS NÉCESSAIRES POUR DÉTERMINER UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ.

361. Une courbe du second degré esl généralement déterminée quand elle est assujettie à satisfaire à des conditions géométriques donnant lieu à cinq relations distinctes entre les coefficients de son équation générale.

En effet, l’équation générale

Ay’-f Bxÿ + CxJ4-Dt/4-Ex-fF = 0 [1]

renferme six coefficients, dont cinq seulement sont arbitraires, attendu qu’on peut, sans la changer, diviser ses deux membres par l’un quelconque des six coefficients, supposé différent de zéro. Or, cinq relations entre cinq quantités suffisent en général pour déterminer ces cinq quantités. Donc , pour déterminer l’équation [l], et par suite la ligne qu’elle représente, il suffira en général de cinq relations distinctes entre scs cinq coefficients arbitraires; ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarques. I. En général une équation du degré m renfermant .} ni (w -f- 3) coefficients arbitraires, une courbe de l’ordre ni sera déterminée par £ ni (m-f-3) conditions.

II. Ordinairement on regarde une relation entre les coefficients arbitraires de l’équation [1] comme équivalent à une condition géométrique imposée à la courbe, et on dit alors qu'une courbe du second degré est en général déterminée par cinq conditions.

III. Si les cinq relations entre les coefficients arbitraires de l’équation [1] admettent une solution unique, l’équation [l] sera déterminée; et si elle représente une courbe, il y aura une courbe du second degré, et une seule, satisfaisant aux conditions géométriques qui correspondent aux cinq relations algébriques considérées. Si ccs cinq relationsadmeltent plusieurs solutions, il y aura généralement plusieurs courbespouvantêtreassujetties aux mêmes conditions géométriques; enfin, si ces relations sont incompatibles, il n’existera aucune courbe satisfaisant à ces mêmes conditions géométriques.