III. Dans le cas de la parabole, on a toujours la relation

II’ — 4 AC = 0, d’où B=±2v/A0;

par suite, pour déterminer la parabole , il suffira en général de quatre autres relations; de plus, à cause du double signe de B, il y aura généralement deux paraboles satisfaisant à quatre conditions géométriques données.

Dans le cas de la circonférence de cercle, on a toujours

A = C et B = 2Acos0,

d’où il résulte que trois autres relations suffiront en général pour déterminer celte courbe; autrement dit, une circonférence de cercle est déterminée par trois conditions.

56St. Comme il est important de savoir si une courbe du second degré est ou n’est pas déterminée par les conditions auxquelles on veut l’assujettir, nous allons rechercher quel est te nombre des relations distinctes entre les coefficients arbitraires de 1 équation générale qui expriment les principales conditions géométriques auxquelles une courbe du second degré peut être assujettie, et comment on obtient ces relations.

365. Assujettir une courbe à passer par un point donné, équivaut à une relation, que l’on obtient en exprimant que les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la courbe.

Assujettir une courbe à avoir pour centre un point donné,, équivaut à deux relations, que l'on obtient en exprimant que les

coordonnées de ce point vérifient les équations qui déterminent les coordonnées du centre de la courbe.

Assigner un foyer, équivaut à deux relations. En effet, si (*, p) doit élre un foyer, l'équation de la courbe pourra se mettre sous la forme

et il ne restera plus que trois coefficients arbitraires c, f, g.

Assigner un sommet à la courbe, équivaut à deux relations. En effet, pour exprimer qu’un point est un sommet, il faut écrire : 1“ que ce point appartient à la courbe ; 2° que la tangente à la edurbe en ce poinl est perpendiculaire au diamètre correspondant.

En général, assujettir une courbe à avoir un point donné pour point remarquable, équivaut à deux relations, que l’on obtient en exprimant les coordonnées du poinl remarquable dont il s’agit en fonction des coefficients de l’équation de la courbe, et en les égalant respectivement à celles du point donné.

564. Assujettir une courbe à être tangente à une droite y=jiar-(-n, équivaut à une condition, que l’on obtient en portant la valeur de y tirée de l’équation de la droite dans l’équation de la courbe, et en exprimant que l'équation en x qui en résulte a ses deux racines égales.

Assujettir une courbe à avoir une droite donnée pour asymptote, équivaut à deux relations, que l’on obtient en identifiant l’équation de la droite donnée avec l'équation générale des asymptotes. On arriverait au même résultat, en portant la valeur de y, tirée de l’équation de la droite donnée dans l’équation de la courbe, et en exprimant que les racines de l’équation résultante sont infinies.

On verrait de même qu’assujettir une couibe à avoir une droite donnée, soit pour directrice, soit pour axe, équivaut à deux relations.

En général, assujettir une courbe à avoir une droite donnée pour droite remarquable, équivaut à deux relations, que l’on

obtient en identifiant l’équation générale de la droite remarquable considérée et l’équation de la droite donnée.

56». On peut quelquefois écrire l’équation d'une courbe sous une forme telle qu’on reconnaisse que la courbe satisfait à une ou plusieurs conditions géométriques. C’est ainsi qu’en écrivant l’équation générale du second degré sous la forme [2], on exprime, par cela môme, que les courbes qu’elle représente ont toutes le point («, p) pour foyer et la droite ey -f fx -f g = 0 pour directrice. Voici d’autres exemples.

566. Pour exprimer que le point (*, p) est un centre, on écrira l’équation de la courbe sous la forme *