On exprimera que la droite

y = mx-\- n [3]

est tangente à une courbe, en écrivant l’équation de la courbe sous la forme

X(y— mx— n) + (ey + fx+g)* = 0 [4].

En effet, le système des équations [3] et [4] peut être évidemment remplacé par un autre composé de la première et de la suivante

ey + fx+g = 0 [5].

Mais les équations [3] et [5] étant du premier degré, n’ont qu’une solution commune. Donc il en est de même des équations [3] et [4]. Donc la droite [3] n’a qu'un seul point commun avec la courbe [4]; donc c’est une tangente.

560. Pour exprimer qu’une droite donnée est asymptote d’une courbe, si on est maître de choisir les axes, on pourra prendre pour axe des x la droite donnée et écrire l'équation sous la forme

xy -J- ay-f-for-J- c = 0,

qui donne y = 0, pour x=*> , et qui représente, par conséquent, toutes les hyperboles qui ont l’axe des x pour asymptote.

309. Si f= 0 et ÿ = 0 sont les équations de deux lignes du second degré, l’équation suivante

dans laquelle >. est une indéterminée positive ou négative, est l’équation générale de toutes les lignes du second degré passant par les points d’intersection des deux lignes proposées.

370. De l’équation [6] on déduit immédiatement l’équation générale de toutes les courbes du second degré passant par quatre points donnés. En effet, soient P = 0, Q = 0 les équations de deux droites passant par les qualrc points donnés, et P'=0, Q'=0 les équations de deux autres droites passant par ces mêmes points. Les équations PQ=0 cl P'Q'=0 peuvent être considérées comme celles de deux lignes du second degré passant par les quatre points donnés, d’où il résulte que l’équation