PQ+>P'Q

est l’équation de toutes les lignes du second degré passant par quatre points donnés.

371. L’équation générale de toutes les courbes du second degré passant par les points d’intersection d’une courbe du second degré A = 0 et d’une droite P = 0, est

En effet, cette équation est du second degré, et toutes les courbes qu’elle représente passent évidemment par les points d’intersection de la courbe et de la droite considérées, ce qui les assujettit à deux conditions. Comme une courbe du second degré peut être assujettie à cinq conditions, on pourra disposer des trois autres conditions pour déterminer les paramétres a, p, y.

572. On verra de même que l’équation générale des courbes du second degré passant par trois points donnés est

XAB ixAC-|-vBC=0,

X, (i et v étant trois paramètres quelconques, et A=0, B=0,C=0, les équations des côtés du triangle déterminé par les trois points donnés.

11 nous serait facile de multiplier les exemples.

Nous allons essayer d’éclaircir ce qui précède par la résolution des deux problèmes suivants.

573. Problème. Trouver l'équation d'une courbe du second degré passant par cinq points donnes.

Le mot courbe étant pris dans son sens propre, comme une courbe du second degré ne peut être coupée par une droite en plus de deux points, il faut, pour que le problème proposé soit possible, que trois des cinq points donnés ne soient pas en ligne droite. Cela étant, parmi les différentes droites que déterminent les cinq points donnés, il y en a au moins deux qui ne peuvent être parallèles et dont le point de rencontre ne peut appartenir à la courbe. Prenons ces deux droites pour axes des coordonnées ; la courbe ne pouvant passer par l’origine, son équation pourra être mise sous la forme

ay*— j— bxy -j- ex' -f- dy -f- ex-\- 1 =0 [9].

.Cela posé, soient (0, x,) et (0, x ,) les deux points situés sur l’axe desrr; (0, y,) et (0, yt) les deux points situés sur l’axe des y, et ( xit y,) le cinquième point donné. Pour exprimer que la courbe passe par ces cinq points, écrivons que leurs coordonnées vérifient l’équation [9]; nous aurons ainsi, entre les coefficients inconnus a, b, c..., les cinq relations suivantes :

«!/»• + dy» -f- 1 = o, ay**+tfy»+ i = o,

ex,' + exi + 1 = 0» cx * + ex* + 1 = °>

ay\ -f bx iy5 -f- cx ,* -f- dy5 -f- ext -f- 1 = 0.

On en lire

GÉOM. ANAL.

1 XiXj’

y> (y, — y»— y,) yiy.

ÏI+V*

Vi'Jt xtXi

Xj (X3 Xj X()

OC jXj

La valeur d’aucun de ces coefficients n'est ni indéterminée, ni infinie, puisque, d’après nos hypothèses, aucune des quantités x,, x„ etc., n’est nulle. Donc, par cinq points donnés, dont trois ne sont pas en ligne droite, on peut toujours faire passer une courbe du second degré, et l’on ne peut en faire passer qu'une seu le.

Remarques. I. Si trois des cinq points donnés étaient en ligne droite, on aurait x, = 0 ou y, = 0, et par suite b = co ; et l’équation [9] se réduirait à xy = 0, c’est-à-dire qu’elle représenterait les deux axes coordonnés. En effet, dans ce cas les cinq points donnés déterminent deux droites, qui sont les axes coordonnés. Si plus de trois des cinq points donnés étaient en ligne droite, quelques-uns des coefficients seraient indéterminés, et l’équation [9] serait ellemême indéterminée; et en effet, il y a, dans ce cas, une infinité de droites passant par les cinq points donnés.

II. Le problème précédent peut se résoudre plus simplement en parlant de l’équation [7], En effet, l’équation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre premiers points est

et on aura immédiatement la valeur de X, en expriinautque cette dernière équation est vérifiée par les coordonnées du cinquième point (x„ y,\,

374. Problème II. Trouver une courbe du second degré qui poste par trois points donn és W, il" , M"', et qui ait pour foyer un point donné F.

Prenons pour origine le point F et désignons par

les coordonnées des points

L'équation de la courbe sera de la forme

(« + fy + sr)3 =** + V’ [10].

Pour déterminer les coefficients inconnus on aura i résoudre les trois équations

<*' + /»' +J=±v'içT? = ±ï «*" + fy" + g— ± /jc"‘ + y ”» = ± g” «*"■+ /ï" + j = ± ^*"”+^=±8*

qui expriment que la courbe passe par les trois points donnés.

Les signes des seconds membres peuvent être combinés de huit manières ce qui semble d’abord indiquer huit solutions; mais en y regardant d’un peu plus près, on voit qu’il n’y en a que quatre de distinctes. r F

En effet , si, après avoir pris les seconds membres des équations fil] avec certains signes , on vient à les prendre avec des signes opposés, on obtiendra un second système qui évidemment sera satisfait par les valeurs qui satisfaisaient au premier système, changées de signe. Or, l’équation [10] ne change pas quand on

change a la fois e en -e. f en -f.gen-g. On obtiendra donc la même solution dans les deux cas.

Cela posé, on n’aura donc à examiner que les quatre cas suivants.

1" On prend 6, ô4 et S”, chacun avec le signe -f-.

Dans ce cas, les coordonnée» des points M', M”, M", substituées dans le premier membre de l’équation • r

qui représente la directrice, donnent des résultats de même signe. Les trois point, donnés sont donc du-même cité de la directrice ; et alors ;

Si l’on a g > 0, les trois points donnés et le foyer sont du même côté de la dir.rtnce; la courbe peut être une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

Si l’on a g <0, les trois points donnés et le foyer sont de part et d’autre d.i, directrice; la solution ne peut être qu’une hyperbole.

2* On prend

Dans chacun de ces trois derniers cas, il y aura toujours deux pointa d’un côté de 1a directrice, et le troisième d’un autre côté, ce qui ne peut convenir au’i un. hyperbole. H

Ainsi le problème admet en général quatre solutions, parmi lesquelles se trou vent au moins trois hyperboles. H 8 lr0U

RauaRÇUE I. Ce problème a une grande importance en astronomie , où il sert a determmer la trajectoire d’une planète, lorsqu’on connaît troia positions de 1 astre. Il n admet alors qu une solution, parce qu’on sait que les planètes se meuvent dans des ellipses dont le soleil occupe un foyer. P

Les données de 1a question sont alors les trois rayons vecteurs déjà désignés par

î", S". et les angles que ces rayons vecteurs font avec une droite fixe passant par le foyer. On fait usage ordinairement des coordonnées polaires.

L'équation de l'ellipse en coordonnées polaires est (336)

p 1 — e cos (<o — a)’

a étant l'angle de l’axe polaire et de l’axe focal de la courbe. 11 ne s’agit plus que de déterminer les inconnues p, e, g au m yen de trois couples de valeurs de p et u, qui doivent satisfaire à cetle équation. Ce qui n'offre aucune difficulté.

Remarque II. On peut donner du même problème une solution géométrique que nous nous contenterons d'indiquer. Elle repose sur ce théorème :

Si deux points M et M' appartiennent à une ellipse, <1 une parabole ou d une m(me branche d'hyperbole, dont le foyer est en F, le point qui partage la droite MM' en deux segments soustractifs dans le rapport de MF à M'F, appartient d la directrice correspondante au foyer F. Si les deux points M et W sont sur deux branches d'hyperbole, c'est le point qui partage MM' en deux segments additifs dans le rapport de MF li M'F qui est sur la directrice,

>Au moyen de ce théorème on pourra donc avoir deux points de la directrice, et par suite cette droite. Abaissant du point F une perpendiculaire FP sur la directrice , on aura la direction de l'axe focal. Les sommets s'obtiendront en partageant FP en deux segments additifs ou soustractifs dans le rapport des distances de M au foyer et à la directrice. Ayant ainsi un axe et les foyers, il sera facile d’obtenir le second axe, et par suite de décrire la courbe.

37iS. Lorsque les conditions géométriques imposées à la courbe sont nu nombre de quatre seulement, il existe une infinité de courbes satisfaisant à ces conditions, et alors on peut se proposer de trouver le lieu géométrique de l’un quelconque des points remarquables de toutes ces courbes, ou le lieu de tout autre point convenablement défini. Par exemple, si on assujettit une parabole à passer par un point donné et à avoir une ligne donnée pour directrice, comme ces conditions n’équivalent qu’à trois relations entre les coefficients de son équation, il y aura une infinité de paraboles passant par ce même point et ayant cette même droite pour directrice, et on pourra se proposer de trouver le lieu géométrique des foyers, des sommets, etc., de toutes ces paraboles.

Pour résoudre les problèmes de cette espèce, on commence par introduire les conditions données dans l’équation de la courbe : cela fait, les coefficients de celte équation sont déterminés, à l’exception d’un seul qui demeure arbitraire et qui entre

dans les équations qui déterminent les coordonnées du point dont on cherche le lieu; il ne reste plus qu’à éliminer ce coefficient arbitraire entre ces équations pour avoir l’équation du lieu.

C’est ce que nous allons faire sur les deux exemples suivants:

570. Problème. Trouver le lieu des sommets des hyperboles ayant un foyer commun et une asymptote commune.

Prenons l’asymptote pour axe des y cl la perpendiculaire à l’asymptote passant par le foyer pour axe des x ; puis cherchons d’abord l'équation générale de toutes les hyperboles satisfaisant aux conditions données.

Soient x=a, y — 0 les coordonnées du foyer donné : l’équation des courbes du second degré ayant ce point pour foyer est

y'-\-(x — *)'—(my + nx -f-p)’= 0 [1].

D’ailleurs l’axe des y étant une asymptote, si l’on fait x= 0 dans l’équation [1], l’équation en y qui en résulte doit avoir deux raèines infinies, ce qui donne les deux relations

1 — m’ = 0 et — 2/o/i = 0, d’où «i = ± 1 et p— 0,

et par suite l’équation [1] se réduit à

Cette dernière équation, quand on fait varier n, représente toutes les hyperboles ayant pour foyer commun le point donné (0, «) et pour asymptote commune l’axe des y.

Désignons maintenant par x', y' les coordonnées du sommet de l’une des hyperboles. Ce point appartenant à la courbe, on a la relation

V* + (*’'“ (i/ + ifcr')* = 0 [3].

D’ailleurs, en exprimant que la droite qui passe par ce sommet et par le foyer est perpendiculaire aux directrices, dont les équations sont y—±nx, on a la relation

d’où

On aura donc l’équation du lieu en éliminant n entre les équations [3] et [4]. On trouve ainsi, en supprimant les accents,

Si nous trouvons deux équations pour le lieu demandé, cela provient de ce que chaque hyperbole a deux sommets, et que rien n'indique dans nos calculs qu’il s'agit de l’un des sommets plutôt que de l’autre. Considérons l’équation qui correspond à y=-f-nx. On peut l’écrire

Or, sous celte forme, on voit qu’elle équivaut aux deux suivantes

(x-f-«)y*-f-(x — a)a£=0, et x — a=0,

et, celte dernière représentant une droite étrangère au lieu cherché, l’équation de ce lieu est donc

(x-f-o>)y*-(-(x—a)x*=0, d’où y=±xy/^^.

On voit que ce lieu passe par l’origine et par le foyer; qu’il est limité du côté des x positifs par la parallèle à l’axe des y qui a pour équation x=«, et qu’il s'étend, au contraire, indéfiniment du côté des x négatifs. De plus, il a pour tangentes à l’origine les

bissectrices des axes, puisque lim - = 1 . Enfin, la parallèle à l'axe

des y, dont l’équation est x = — #, est une asymptote.

Remarques. I. Le lieu que nous venons de trouver est susceptible d’une définition géométrique analogue à celle de lacissoidc. Reportons-nous à la figure 15, page 18; si on prend IM = 1B, et si on fait OA = «, le lieu des points M sera le lieu que nous venons de trouver.

II. Popr obtenir les équations des lieux géométriques des centres, des hyperboles assujetties aux conditions de l’énoncé, on partirait de l’équation [2].

377. Problème II. Trouver U lieu géométrique des foyers des paraboles, qui ont la même directrice et un point commun.

Prenons pour axes la directrice et une perpendiculaire à la directrice passant par le point donné. Soit (0, a) le point donné.

L’équation générale des paraboles (314) est

avec la condition

L'axe des y étant la directrice, il faut que son équation (798, III) ox + fy + 9 = 0

soit vérifiée pour x = 0, quelque soit y, ce qui exige que l’on ait fz= 0 et ÿ=0; par suite, l’équation [2] se réduit à e*= 1 , et l'équation [l] devient

L'équation [3] convient à toutes les paraboles ayant la même directrice. En y remplaçant x et y par les coordonnées du point donné, nous aurons

r elalion constante entre les coordonnées a et p des foyers, et qui, par conséquent, n’est autre que l'équation du lieu cherché. Ce lieu est une circonférence de cercle , ayant a pour rayon et pour centre le point donné.

Remarque. Si. au lieu de donner la directrice et un point, on donnait la directrice et une tangente, on pourrait partir de l'équation [3] pour trouver le lieu des foyers.

Le lecteur pourra s’exercer sur les problèmes suivants.

Problèmes. Déterminer une courbe du second degré, connaissant : 1” un foyer et trois tangentes; 2" le centre et trois points.

Construire une ellipse, connaissant ; 1* le foyer , le sommet et un point; 2* «n sommet , une tangente et une directrice; 3* le foyer , le sommet et une tangente.

Construire une parabole, connaissant ; l’ la directrice et deux points; 2* le paramétre, deux tangentes et un point ; 3° la directrice , une tangente et le point de contact; 4* le foyer, un point et une tangente; 5* le sommet et deux tangentes; 6* le sommet, une tangente et le point de contact; 1‘ le paramétre, le foyer et un* tangente.

Construire une hyperbole, connaissant : 1* une asymptote, une directrice et l'excentricité; 2" une asymptote, un sommet et l'excentricité; 3" une asymptote, un foyer et un point; k" une asymptote, une directrice et un point; b" un foyer, un sommet et une tangente; 6* une asymptote, une tangente et une directrice;

7* une asymptote , une tangente et un foyer; 8" une asymptote , un sommet et un point; 9* une directrice, une asymptote et la longueur de l'axe transverse ; 10* un poi'nl . une asymptote et deux tangentes; 11* une asymptote et trois points.

Trouver le lieu des sommets des paraboles tangentes d trois droites données.

Lieu des foyers des ellipses inscrites dans un rectangle donné.

Lieu des foyers des hyperboles gui ont un même sommet et une même asymptote donnée.

Lieu des centres des ellipses qui onl un lommel commun et deux tangentes communes perpendiculaires entre elles.

Lieu des sommets des paraboles qui ont le mime foyer et une tangente commune ou un point commun.

§ 2. INTERSECTION DES COURBES DU SECOND DEGRÉ ET DES COURBES PLANES EN GÉNÉRAL.

578. La recherche des points communs à deux courbes dont on a les équations revient à la recherche des solutions communes à ces deux équations ; car les coordonnées des points communs doivent satisfaire à la fois aux équations des deux courbes. Le problème de l’intersection des courbes se ramène donc à un problème d’élimination ; et réciproquement le problème algébrique de l'élimination peut être remplacé par le problème graphique de l’intersection de deux courbes. La question n’a pas moins d’intérét sous ce second point de vue que sous le premier.