Intersection de deux courbes do second degré

Soient

Ai/,+Bxi/-fCxl+Dy-fEx-f F =0 [l],

A’y’ -f- B’xy -j- C'x’ -J- D'y -f- E'x F' = 0 [2],

les équations de deux courbes du second degré. Si nous multiplions la première par A’, la seconde par A et que nous les retranchions membre à membre, nous obtiendrons une équation du premier degré en y, de la forme

<cry + -f- dy -f ex-f/’=0 [3],

équation qui pourra tenir lieu de l’une quelconque des proposées. Si nous éliminons y entre cette dernière et l’une des équations

INTERSECTION DES COURBES

proposées, nous obtiendrons une équation en x qui sera généralement du quatrième degré et de la forme

Par‘-f-Qæ,-f-R.rI + Sx-|-T=0 [4].

Cette équation aura quatre racines qui peuvent être réelles ou imaginaires ; et comme, en vertu de l’équation [3], à chaque valeur de x correspond une seule valeur de y, il s'ensuit que le système de S, équations [1] et [2], ne peut admettre que quatre solutions. Ces quatre solutions pourront être toutes réelles, ou bien deux d’entre elles seront réelles et les deux autres imaginaires, ou bien enfin elles seront toutes les quatre imaginaires ; par conséquent les courbes du second degré représentées par les équations [1] et [2] pourront se couper en quatre points, ou seulement en deux points, ou ne pas se couper du tout. Mais si l’on convient de regarder une solution imaginaire comme les coordonnées d’un point d’intersection imaginaire, on pourra dire que : deux courbes du second degré se coupent toujours en quatre points réels ou imaginaires.

Remarques. I. L’équation [4] sera d’un degré inférieur au quatrième toutes les fois que les deux courbes proposées auront un ou plusieurs points d’interseclion situés à l’infini. En effet, si l’un des points d’intersection est situé à l’infini, l’équation [4] a une racine infinie, ce qui donne la condition P = 0 ; l’équation s’abaisse donc au troisième degré. On voit de même qu’elle s’abaisserait au deuxième degré, si deux points d’intersection étaient à l’infini; c’est ce qui a lieu, par exemple, dans le cas où les courbes proposées sont deux hyperboles ayant une asymptote commune.

II. Les quatre points d’intersection des deux courbes du second degré déterminent trois couples de droites dont les équations, sont réelles ou' imaginaires, suivant que ces points sont euxmêmes réels ou imaginaires. Dans le cas où ces points existent, la recherche des points d'intersection des deux courbes serait ramenée à la recherche des points d’interseclion de l’une des deux courbes avec deux de ces droites, si l’on connaissait les équations de ces droites ; et, plus simplement, celte recherche serait ramenée à celle des points d’intersection de quatre de ccs droites considérées deux à deux.

La détermination des équations des droites dont il s’agit dépend du problème que nous allons résoudre; mais nous devons faire observer d’abord que dans le cas même où les points d’intersection sont imaginaires, les équations de deux des droites qu'ils déterminent sont algébriquement réelles : ce sont les équations des droites qui correspondent à deux des points dont les coordonnées imaginaires sont conjuguées deux à deux, comme on peut s’en assurer en faisant le calcul.

580. Problème. Trouver l'équalion générale îles courbes du second degré qui passent par les points dé intersection de deux courbes du second degré dont on donne les équations.

Soient

[5] f(x,y) = 0 et 9 (x, y) = 0 [6]

les équations des deux courbes proposées,

l’équation /"(æ.y)-f [7],

dans laquelle X est une indéterminée positive ou négative , est l’équation demandée. Remarquons d’abord que les courbes représentées par l'équation [7] passent toutes par les points communs aux deux premières, et n’ont avec elles d'autres points communs que ceux-là. En effet, tout système de valeurs de x et de y qui satisfait aux équations [5] et [6] satisfera à l’équation [7], puisqu’il annulera les deux parties dont se compose le premier membre de cette équation ; et tout système de valeurs qui satisfera, par exemple, aux équations [5] et [7], satisfera à l’équation [6], puisque de

f—0 et H-X? = 0 résulte X(p = 0 ou 9— 0.

En second lieu l’équation [7] représente toutes les courbes du second degré passant par les points d'intersection des courbes proposées. En effet, considérons une quelconque des courbes passant par les quatre points d’intersection; prenons un autre point quelconque sur celte courbe, et déterminons X par la condition que l'équation [7] soit vérifiée par les coordonnées de ce

INTERSECTION DES COURBES

point; l’équation [7] est alors vérifiée parles coordonnées de cinq points de la courbe considérée; donc c’est l’équation de celte courbe.

381. Parmi les lignes du second degré représentées par l’équation [7], sc trouvent les couples de droites déterminées par les points d’intersection des courbes proposées ; on aura donc les équations de ces couples de droites en déterminant X par la condition que l’équation [7] représente deux lignes droites. Pour cela, on résout cette équation par rapport à y, et on exprime (147) que le trinôme placé sous le radical est un carré parfait; on arrive ainsi à une équation en X du troisième degré. En prenant pour X l’une quelconque de ses trois racines, l’équation [7] représentera deux droites; on aura donc ainsi les trois couples de droites.

Maintenant pour que ces droites soient réelles, il faut : 1° que X soit réel; 2° que le binôme B* — 4AC formé avec les coefficients du trinôme en x sous le radical soit positif.

D’abord l’équation du troisième degré en X a toujours une racine réelle; d’ailleurs il existe toujours un couple de droites dont les équations sont algébriquement réelles; d’où il suit que cette valeur réelle de X doit satisfaire à la seconde condition. Dans le cas où les trois valeurs de X seraient réelles, il ne faudrait pas en conclure que les équations des trois couples de droites sont toutes réelles, et que par conséquent les courbes proposées se coupent. Il existe sur ce sujet quelques théorèmes curieux que nous ne croyons pas devoir exposer ici.

382. Il sera quelquefois possible de choisir X de manière que l’équation [7] qui n’est autre que l’équation

(A — XAV-HB— : XB'Ja-y-HC-XCV-KD— XD^y j -f(E-^XE')*+P— XF=0 )

représente un cercle. Pour cela il faut, si les axes sont rectangulaires, que l’on ait en même temps

B— XB' = 0 cl A— XA’ = C— XG'.

On tire de la première relation X = jp,

et, en substituant dans la seconde, on obtient pour équation de condition

Or, si l’on se reporte à la réduction de l’équation du second degré par la transformation des coordonnées (172), on remarque qu’en appelant « et a' les angles que l’un des axes de la première courbe et l’un des axes de la seconde font avec l’axe des x, la relation [8] revient à

— tang 2a = — long 2«', ou à tang 2a' = Lang 2a, d’où les valeurs

“ =«. ® =“+2» “ = “ + "> “=»+ji

et ainsi de suite '.lesquelles montrent que les axes des deux courbes doivent être parallèles ou perpendiculaires. Telle est la condition géométrique pour que les points communs aux deux courbes soient sur une môme circonférence de cercle.

585. Intersection de eonrbes quelconques. 1° Cas où les équations peuvent être résolues par rapport il la même variable. Toutes les fois que les deux équations peuvent être résolues par rapport à une môme variable, et c’est ce qui arrive en particulier pour les équations du second degré, on peut, avec le secours préalable d’une construction graphique, obtenir les coordonnées des points communs avec tel degré d’approximation qu’on le désire, sans être obligé de résoudre une équation finale de degré supérieur.

Imaginons que l’on construise avec soin sur une même feuille les courbes représentées par les deux équations, que nous supposons numériques et mises sous la forme

V=f(x) et y—<f(x).

On pourra mesurer sur l’épure les coordonnées des points

INTERSECTION DES COURBES

communs. Soit x, la valeur ainsi obtenue pour l’abscisse de l’un de ces points; ce sera une valeur approchée de l’abscisse véritable du point d’intersection que l’on considère. A cette abscisse correspondront les deux ordonnées f ( x ,) et ? (x,) qui ne seront pas exactement égales. Mais les deux points qui ont pour coordonnées d’une part x, et f(xt), de l’autre x, et ? (x,), seront assez voisins du point d'intersection pour que, dans l’intervalle, il soit permis de substituer approximativement à chaque courbe sa tangente.

Les deux tangentes considérées auront pour équations (IOO)

y — f(xl)=riixl) (x— x,)

et y — <?(*.)— *'(x,) (x— x,).

Connaissant x, on calculera aisément f (x,) et <p’ (a:,) ; on a déjà f (x,) et fp(xi); on pourra donc déterminer l’abscisse du point d’intersection des deux tangentes au moyen des deux équations cidessus qui sont du premier degré.

Soit Xj la valeur de x ainsi obtenue; si l’épure a ôté faite avec soin, c’est-à-dire si x, est une valeur suffisamment approchée de l’abscisse du point d’intersection, x, sera une seconde valeur plus approchée. On le reconnaîtra d’ailleurs en remplaçant x par Xi dans les fonctions f et 9; les ordonnées f (x,) et y (x2) des deux courbes différeront moins que les ordonnées f (xt) et ® (xi).

Pour obtenir un nouveau degré d’approximation, on substituera aux deux courbes leurs tangentes aux points qui ont pour coordonnées, d’une partx2 et f (xa), de l’autre x2 et® (x,); c'est-à-dire que l’on se servira des équations

y — f {Xi) — f (x,) (x x2),

y — ?(x1) = lf'(xî)(x— »,),

qui donneront pour x une valeur x} plus approchée que x2, ce qu’on reconnaîtra en constatant que les ordonnées f(xs) et o(x2) diffèrent moins que /"(x2) et f (x2).

En continuant ainsi, on arrivera à tel degré d’exactitude que l’on voudra.

Remarque. Le degré d’approximation des valeurs xt et yt mesurées sur l’épure, n’étant pas exactement connu, on ne peut déterminer à l’avance l’approximation sur laquelle on peut compter dans le calcul de x2. Ce qu’il y a de plus simple à faire est de se donner à l’avance la limite de l’erreur que l’on veut commettre, par exemple un millième, ce qui sera en général plus que suffisant dans les applications ; de calculer en conséquence x2, et par suite f(x2) et ? (x2), avec trois ou quatre décimales; de même pour x|, /‘(x s), « (x,) et ainsi de suite; puis d’arrêter le calcul lorsqu’on trouvera pour f (x) et f (x) deux valeurs ayant trois décimales communes.

Pour s’assurer que x a été obtenu lui-môme avec l’approximation désirée, on pourra employer le caractère suivant. Soit x. la valeur trouvée ; on calculera les quantités

/•(x. — 0,001) — f (x, — 0,001) et f(x. + 0, 001) — <p(x. + 0,001).

Ges deux différences devront être de signe contraire; car celle des deux courbes qui était au-dessus de l’autre avant l’intersection passe au-dessous, après l’intersection. (Nous excluons le cas où il y aurait contact.)

Au reste, dans l’application, la vérification dont il s’agit sera rarement utile, et l’on pourra en général s’en dispenser.

384- Comme application de cette méthode, proposons-nous de trouver les

points d'intersection des deux courbes représentées par les équations

y1 — 2yx + x’ — 2 y— 2x + 1 =0

ou y =x+ l=fc2\/ï

et

y’ +• î xy -f- — 8 y — 9x + I6 = 0 ou y = — x + 4±vî-

En construisant avec soin, sur papier quadrillé si l’on veut, et à une échelle suffisante, les deux paraboles T~ que ces é uations représentent, on Fig. U». reconnaît ( fig. 154) qu'elles se cou-

pent en quatre points, dont les abscisses, mesurées sur l’épure, sont approximativement

INTERSECTION DES COURBES. 351

I. Occupons-nous d'abord du premier. L'inspection de la ligure montre qu'il appartient aux branches de paraboles représentées par

y = x+ 1 + 2 ^x' et y= — x + 4 — \/*>

on a donc ici

f(x)=x + 1 + 2 V* et ç(*)=— x + 4 —

d'où /-(i) = i + L et ç'(i)=i__L.

Vx * vx

Pour x =0,45 oh trouve d’abord

f (0,45) =2,7916 et ? (0,45) = 2,8792.

La différence entre ces ordonnées étant notable, il faut recourir aux tangentes. Or, on trouve *

/'(0, 45) = 2,4534 et ç’(0,45)= — 1 ,7453;

les équations des tangentes sont donc

y — 2,7916 = 2,4534 (1 — 0,45) ou y— 2 ,4534* = 1,6876

et y — 2,8792 = — 1,7453 (x — 0,45) ou y + 1 ,7453x= 3,6646;

on en tire x= 0,4708. Substituant cette valeur dans les fonctions f et f, on trouve

f(0,4708) = 2, 8430 et ç (0,4708) = 2, 8431.

Ces valeurs peuvent être considérées comme suffisamment approchées.

Remarque. Si l'on applique le caractère indiqué au n” 383 , on trouvera

et f(0,4709) — ç(0, 4709)= +0,0004;

ces différences étant de signe contraire, x est compris entre 0,4707 et 0,4709. La valeur 0,4708 est donc approchée à moins d’une unité du quatrième ordre décimal.

II. Le second point d'intersection appartient aux branches représentées par

y=x + l— 2/x et y= — x + 4 + /x-

Pour x=l ces deux équations donnent toutes les deux y =4 ; ces valeurs sont donc rigoureuses.

III. Le troisième point d'intersection appartient aux branches représentées par

y = x+l — 2/x et y =— x + k — \[î-

Pour x = 2,25 ces deux équations donnent l'une et l'autre y = 0,25; ces valeurs sont donc exactes.

IV. Le quatrième point d'intersection appartient aur branches représentées par

y = x + l— 2Vx et y=— x + 4 — Sx ,

c'est-à-dire qu’ici on a

et ç(x)=— x+4 + /x.

d'où

et ç’(x)=— H--=.

Pour x=4 ,75 on trouve

f(k ,75) =0.3912 et v (4,75) = 1 ,4294.

Ces deux vaieurs étant différentes, il faut employer les tangentes. Or on a ,75)= 0,5412 et o (4, 75}=— 0,7705.

Les équations des tangentes seront donc

y — 1 ,3912= 0,5412 {x— -4,75) ou y— 0,5412.*= - 1 ,1795 et y — 1,4294= — 0,7705 (x— 4,75) ou y + 0,7705.x= 5,0893.

On en tirex=4,7790, et l'on trouve

/■(4, 7790) = 1 ,4068 et ç (4 .7790)= 1 ,407 1.

On peut adopter x = 4,779 et y = 1,407 comme des valeurs suffisamment approchées.

383. Comme second exemple, nous prendrons les deux équations transcendantes

y =sin x et y=e-*.'

Pour l’homogénéité de ces formules il faut regarder y et x comme les rapports de l'ordonnée et de l’abscisse à l'unité de longueur. Dans la première, x représente ainsi l'arc dont le rapport au rayon est exprimé par le nombre xj dans la seconde , e représente la base des logarithmes népériens, ou 2,718281828.

Cela posé, on trouvera '®' lis' que les courbes représen-

tée» par ces deux équations ont la forme indiquée par la ligure 155. Elles se coupent à droite de laxe de3 y en des points de plus en plus rapprochés de l’axe des x.

INTERSECTION UES COURBES. 353

L'abscisse du premier point commun, mesurée sur l’épure, e t *=0,55. On trouve sinO,55=sin 31*, 30', 7 = 0.5221

et e-*.“ = 0,5769.

Ces ordonnées différant d’une manière notable, il faut recourir aux tangentes.

Or, si l’on posa f (x) = sin x et (*)=«-',

on trouve f(x) = cos x et *'(*)= — e-';

on aura donc /’(*) = cos 31*, 30' ,7 = 0,852.’)

et ?'(*)= — e-*’“= — 0,5769.

Les équations des deux tangentes seront donc

y — 0,5227 = 0,8525 (*-0,55) ou y — 0,8525. *=0,0538

et y-0,5769 = — 0,5769 (*—0,55) ou y +0,5769. *=0,8P42;

on en tire *=0,587;

on trouve alors f (x) = sin 0,587 = sin33s37',9 = 0, 5538

et ç(*) = r-*.“' = 0,5560.

Ces valeurs n’approchant pas encore assez l’une de l’autre, on emploiera de nouvelles tangentes. On a

f(*)= cos33*37' ,9 = 0, 8326 et ç'(*) = — e-*.«>=— 0,5560.

Les équations des nouvelles tangentes seront donc

y— 0,5538 = 0,8326 (* — 0 ,587) ou y— 0, 8326. *=0,0651, y —0,5560= — 0,5560(x — 0,587) ou y + 0, 5560. *=0,882; on en tire* = 0,5885, et l’on trouve ensuite

f(*)=sin 0,5885 =sin 33*43', 3= 0,5551.... ç(x) = «-•.““ = 0,5551 ....

La différence des ordonnées ne se manifestant qu’au delà de la quatrième décimale , les valeurs * = 0,5885 et y = 0 ,5551 peuvent être regardées comme suffisamment approchées.

On obtiendrait de la même manière les autres points d’intersection.

586. S" Cas où les équations des deux eonrbes ne peuvent pas être résolues par rapport à la même variable. C'est pour

plus de symétrie que nous avons supposé les deux équations ■ré-

GÉOM. ANAL. 23

solues par rapport à «ne même variable. La méthode précédente serait encore applicable dans le cas où elles seraient résolues par rapport à une variable différente. Supposons, par exemple, que l’on ait

y—f{x) et x=<p(y),

et soient y, etxi les valeurs approximatives, mesurées sur l’épure des coordonnées de l’un des points communs aux deux courbes.

En considérant d’abord la première, on trouvera qu’à l’abscisse correspond une ordonnée f fa) un peu différente de y, ; et la tangente au point dont xt clffa,) sont les coordonnées aura pour équation

y—f(xt)=f{x ,) (x— x,).

En considérant la seconde courbe, on trouvera qu’à l’ordonnée t/i correspond une abscisse ? (y,) un peu différente de x,; et la tangente au point dont yi et <p (yj sont les coordonnées aura pour équation

x — t (I/O— ?' fa) (y—yô-

On cherchera les valeurs de x et de y qui satisfont à ces deux équations du premier degré; soient x2 et y, les valeurs obtenues.

Ou comparera yt avec f fa) et x2 avec ? (y,) ; si les différences sont suffisamment petites on pourra regarder x2 et y2 comme des valeurs suffisamment approchées; dans le cas contraire, on répétera pour x2 et y2 le calcul que l’on a fait pour x2 et y, ; et l’on obtiendra de nouvelles valeurs plus approchées x, et y,. Et ainsi desuite.

387. 8° Équations qnl ne peuvent être résolues. Examinons maintenant le cas où les équations proposées ne peuvent être résolues, ni par rapport à x, ni par rapport à y; et supposons ■d’abord qu’elles soient algébriques. Ordonnons-les toutes les deux par rapport à celle des deux variables qui y entre avec les moindres exposants; soit y cette variable. Représentons par

Y„=0 et Y„=0 [1]

les deux équations ainsi ordonnées; m et n désignent le plus haut exposant de y dans chacune d’elles.

INTERSECTION DES COCRBES.

Divisons Y* par Y,; et poussons la division jusqu’à ce que nous obtenions un reste qui soit du degré n — 1 par rapport à y. Ce reste et le quotient auront en général des coefficients fractionnaires; supposons qu’on réduise au même dénominateur f(x) tous les termes du quotient et du reste; soient alors Y. le numérateur du reste et Q celui du quotient ; on aura

d’où

•(*). Y.=Y,. Q+Yr,

et l’on peut remarquer que si l’on avait préalablement multiplié Y* par (x), la division se serait effectuée sans introduire x en dénominateur ni au quotient ni au reste.

Cela posé, tout système de valeurs de x et de y qui annulera Y» et Y., annulera Y,-! ; car <p (x) et Q ne contiennent point les variables en dénominateur, et ne peuvent dès lors devenir infinis pour des valeurs finies de ces variables. Il s'ensuit que les points communs aux deux courbes proposées se trouvent sur la courbe qui a pour équation

En second lieu, tout système de valeurs de x et de y qui annulera Y„, et Y„ annulera le second membre de l’équation [2] ; il devra donc annuler le premier, et par conséquent l’un des deux facteurs Ym ou ?(x). Ainsi les points communs aux deux courbes qui ont pour équations

Y„=û et Y„, =0 [3]

se trouvent, soit sur la courbe Ym=0, soit sur les parallèles à l’axe des y comprises dans l’équation ? (x) = 0.

De là il résulte que si l’on cherche les po nts communs aux deux courbes représentées par les équations [3] on aura tous les points communs aux deux courbes proposées, plus peut-être quelques points qui n'appartiennent pas à la courbe Y„ = 0.

Si l’on opère sur les courbes [3] comme sur les courbes [1], on parviendra à les remplacer par deux courbes

y„., = 0 et Y,=0 [4],

dont les points communs comprendront tous ceux qui sont communs aux courbes [3], plus peut-élre quelques points qui n’appartiendront pas fi la courbe Y» = 0. Ces points communs comprendront donc tous les points d’intersection des deux courbes proposées [1], plus peut-être quelques points étrangers.

En continuant ainsi, on arrivera à un système de courbes

Yj = 0 et Y, = 0,

dont les points communs comprendront encore tous les points d’intersection des deux courbes proposées, plus peut-être quelques points étrangers. Mais elles seront, l’une du second degré en y, l’autre du premier; on pourrait donc les résoudre par rapport à y, par suite les construire aisément, et leur appliquer la méthode du n° 385.

Les couples de valeurs obtenues qui ne satisferont pas aux deux équations proposées, répondront aux points étrangers introduits par le calcul.

L’algèbre fournit d’ailleurs des procédés pour éviter celte introduction; mais ce ne serait pas ici le lieu de les faire connaître. Il ne faut pas au reste s’exagérer l’importance de ces solutions étrangères ; elles sont presque toujours en petit nombre, quand les équations proposées ne sont pas d’un degré très-élevé ou qu’elles n’ont pas été préparées à dessein.

588. Équations transcendantes. Lorsque les équations proposées sont transcendantes et qu’elles ne peuvent être résolues par rapport à aucune des deux variables, il n’y a plus de méthode générale pour trouver les coordonnées des points communs aux deux courbes. Mais si, par un moyen quelconque, on a pu se procurer des valeurs approchées de ces coordonnées, on pourra les obtenir avec tel degré d’approximation qu’on voudra en suivant la marche suivante, qui est également applicable aux équations algébriques.

INTERSECTION DES COURBES. 357

Soient f(x,y)= 0 et q>(x,y)=0

les deux équations proposées; et soient x, et y, des valeurs approchées des coordonnées de l'un des points communs aux deux courbes.

Posons x=xl-\-tx et y=y,-fp,

d’où f(*i+ «.!/i + M=0 et ? (x. + a, y,+p)=0.

Développant, en remarquant que si les valeurs x, et j/t sont suffisamment approchées, a et p sont des quanlilés très-petites, dont on peut négliger les carrés et le produit, il viendra

f(x>, «/,)+»/"*(*«> y i)+?r,(xt, y<)=o •

et ?(*i.!h) +«?«'(*,. yi)+PV(x» Vi)=°-

Ces deux équations du premier degré donneront o et P; en ajoutant ces quantités à x, et à y,, on obtiendra pour x et y des valeurs plus approchées Xi et y2. Opérant sur ces valeurs comme on a opéré sur x, et y,, on obtiendra de nouvelles valeurs plus approchées x* et yt; et ainsi de suite.

On sera averti qu'on est arrivé à un degré d’approximation suffisant, lorsque les valeurs obtenues pour x et y, substituées dans /■(x, y) et f (x, y), comme la marche du calcul l’exige d’ailleurs, donneront des résultats négligeables.

389. Comme exemple, considérons les deux lieux géométriques représentés par les équations

y + * — feos (y + x) = 0 et y3— xy + x^O,

et supposons que, par un moyen quelconque, on ait trouvé, à un centième près, les valeurs des coordonnées de l’un des points communs.

Soient, en conséquence, x,=0,03 et j/, = 0,16. On aura

f(x,,y,)= ry,-fx,— J cos(y,-f x,)=0,19 — J cos0,19 = 0 ,19 — j cos 10*,53', 10", 2

r. (X, , y.) = 1 + 1 Sin (y, + x,J = 1 + { sin 10*, 53' , 10" , 2= 1 ,0378

f,(x.,y.) = l + f sin (y, +x,) = 1,0378.

V (x,, y,) = y,J— r,y,-fx,J=— 0,00008 ?'»(xi,y.) = — yi + 3x,=— 0.1573 f'r (x, , y,) = 3 y, — x, = + 0,0468.

On aura doûc à résoudra les deux équations

1,0378 « + 1,0378 p =0,0064 — 0,1573 b + 0,0168 p =0,0068 qui donnent a=— 0,00201 et p = 0, 00817

et par suite j,=o,03 — 0,00201 =0,02799

Allô de juger du degré d'approximation obtenu, on peut calculer les valeurs de (*,, y,) et de ç (ar,, y,), on trouve

f (*,, yj = — 0,000006 et ç (*,,yj=+ 0,000070.

Les valeurs x, et y, peuvent donc être considérées comme suffisamment approchées.

500. Remarques. I. A l'occasion des courbes dont l’équation ne peut être résolue par rapport h aucune des deux variables, il peut être utile de rappeler que la transformation des coordonnées permet quelquefois de lever cette difficulté.

Considérons, par exemple, la courbe ci-dessus dont l’équation

est y* — iy-fx,=0.

On remarque que le premier membre ne change pas quand on y remplace x par y et y par x ; on peut en conclure que la courbe est disposée de la môme manière par rapport à l’axe des x et par rapport à l’axe des y, et que par conséquent elle a pour axe de symétrie la bissectrice du premier angle de ces axes. Si l’on prend cette bissectrice pour axe des x, les coordonnées nouvelles étant supposées reclangulaires, l’équation ne devra contenir que des puissances paires de y'; et comme le degré de l’équation ne saurait s'élever par la transformation des coordonnées, il faudra que le terme en y» disparaisse, et que la variable y' n’entre qu’au second degré.

C’est ce qui arrive en effet. Les formules de transformation pour le cas qui nous occupe sont (57, rem. III)

et

INTERSECTION DES COURBES

En substituant ces valeurs dans l’équation, on obtient

& fi -f3zt/V2— z’+y* = 0 ,

d’où

’-ayg.

La courbe représentée par cette équation a la forme indiq uée

sur la figure 156. Elle a pour asymptote la droite AB parallèle à l’axe des x' et qui a pour équation

l + 3aV2 = 0 ou x= —

Hg.