CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

302. Supposons d’abord que l’équation proposée soit du second degré ; elle se présentera sous l’une des quatre formes

x* — px-\-q=Q

x* -f- pa; -f- <7 == 0

x'-\-px — <7 = 0

équations dans lesquelles y et y sont supposés positifs.

Pour l'homogénéité de ces formules (29) il faut, si x représente une ligne, que p représente également une ligne et que q représente une surface. |

Cela posé, considérons en premier lieu l'équation [1], On pourrait en tirer les valeurs de x et les construire d’après les règles données au n° 56. Mais il est plus simple de remarquer que l’équation peut s’écrire

x{p=x)=q, ou x(p — x)—c’,

en appelant c le côté du carré équivalent à la surface q. On voit donc que x pt p — x sont les côtés d’un rectangle équivalent à ce carré; d’ailleurs la somme de a; et de p — x est p ; la question revient donc à construire un rectangle équivalent à un carré donné et dont les côtés fassent une somme égale à une ligne donnée, problème * de Géométrie élémentaire.

Considérons en second lieu l'équation [2]. Elle peut s’écrire x(x — p) = q = c‘.

Ici les côtés du rectangle équivalent à la surface q sont a: et x — p, lignes dont la différence est p. La question revient donc à cet autre problème connu de Géométrie élémentaire : Construire un rectangle équivalent à un carré donné, et dont les côtés diffèrent d’une ligne donnée.

Quant aux équations [3] et [4], on les ramènera aux deux précédentes en posant x = — x'.

En examinant les cas particuliers que peuvent présenter les deux constructions ci-dessus indiquées, on retrouverait toutes les circonstances de la discussion des équations du second degré.

Nous ne nous y arrêterons pas.

595. La construction des racines d’une équation du troisième degré se ramène à la construction des racines d’une équation du quatrième degré. Prenons donc une équation du quatrième degré, privée du second tenqe

px’-|-9X-f-r=0 [1],

dans laquelle p, q, r sont des nombres positifs ou négatifs.

Posons

CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES

d’où

l’équation [1] pourra s’écrire

y'+py+qx+r=o [3],

et l’équation [I] pourra être regardée comme résultant de l’élimination de y entre les équations [2] et [3] ; c’est-à-dire que la question est ramenée à la recherche des points communs aux deux courbes du second degré représentées par les équations [2] et [3].

Mais on peut substituer à la courbe représentée par l'équation [3] une courbe beaucoup plus simple. Car si l’on ajoute membre à membre les équations [1] et [2] et qu’on fasse ensuite passer tous les termes dans le premier membre, on obtient

équation qui représente un cercle.

Les abscisses des points de rencontre de ce cercle avec la parabole, toujours la même, représentée par l’équation [2], seront les racines réelles de l’équation proposée. Si l'épure est faite avec soin et à une échelle convenable, ces racines pourront être obtenues avec une approximation suflisante pour les besoins de l’application. •

Exemple. Soit proposée l'équation

i' + 4j’ +3x’ — 4jc— 8 = 0.

Si l'on pose x — J — 1 pour faire disparaître le second terme, on obtient *’* — 3*'>-îx'— 4=0.

Les racines réelles de cette équatioa sont données par l’intersection de la parabole

avec le cercle a^-fy’— 2 J — 4 y — 4=0.

En appelant a et p les coordonnées de son centre, et R son rayon, on trouve «= I, 3 = 2 et R = 3.

594. Si l’équation proposée est du troisième degré, on peut toujours la ramener à la forme

Æ,+px+ç=0 [1].

Multiplions par x, ce qui revient à introduire la racine as=0, il viendra

tn*-f-p;c,-j-<7a::=0 [3],

et, d'après ce qui a été dit au numéro précédent, les racines réelles de cette équation seront données par l'intersection de la parabole y = x 1 et du cercle

^+y,+9^+üJ — i)y=o.

Ce cercle passe par l’origine, ce qui dispense de chercher son rayon.

La parabole passant aussi à l'origine, il y a un point d'intersection dont l’abscisse est x=0 ; mais cette racine n’est autre que celle qui a été arbitrairement introduite, et l’on ne doit pas en tenir compte.

Exshple. Quelle hauteur faut-il donner d un segment sphérique pour que son volume soit le quart de celui de la sphère ?

Prenons pour inconnue lo rapport Je la hauteur cherchée au rayon; soient x ce rapport, et R le rayon de la sphère; la hauteur du segment sera Rx; et l'on devra avoir

{.J u R, = *.R,xa (R— J Rx) ou x1 — 3x5 +1=0.

Posant x = x' + 1 pour faire disparaître le second terme, on obtient

Cette équation n’a qu’une racine réelle qui est positive ; elle sera donnée par l’intersection de la parabole y = x’1 avec le cercle

qui passe à l'origine, et dont le centre a pour coordonnées x' = f et y = î.

CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES. 363