CH

dans laquelle le premier membre est une fonction continue de x, comme cela a lieu pour toutes les équations que l’on rencontre dans les applications.

Cette équation peut être considérée comme résultant de l’élimination de y entre les équations

y=f(x) et y=0,

la question revient donc à chercher les intersections de l’axe des x avec la courbe représentée par l'équation

On construira donc cette courbe, comme il a été indiqué aux n°* 19 et 21 ; les abscisses des points où elle coupera Taxe des x seront les racines réelles de l’équation proposée ; et si l’épure a été faite avec soin et à une échelle convenable, ces racines pourront s’obtenir avec une approximation presque toujours suffisante dans la pratique.

Si f (x) est une fonction algébrique entière, on pourra, pour calculer les ordonnées successives de la courbe, faire usage de la méthode des différences, exposée aujourd’hui dans les traités d’algèbre supérieure. On le pourra en toute assurance; car le cas où la courbe s’approcherait très-près de l’axe des x sans le couper, et le cas où elle le couperait en deux points très-rapprochés l’un de l’autre, les seuls où l’on pourrait avoir des doutes sur la nature des racines cherchées, sont des circonstances idéales qui ne se présentent jamais dans les applications. On verra d’ailleurs, lorsqu’il sera question de l’interpolation, comment on pourrait lever la difficulté si elle se présentait.

396. Lorsqu’une racine a été obtenue graphiquement avec une approximation convenable, on peut calculer sa valeur avec tel degré d’approximation que l’on désire.

Soit x, la valeur de x obtenue graphiquement, èt soit y, la valeur correspondante de y, en sorte qu’on ait y, = /'(xl). Le point

qui a pour coordonnées x, et yt ne sera pas le point d’inlerseclion de la courbe avec l'axe des x, mais il en sera très-voisin ; et l’on pourra, dans l’intervalle, substituer à la courbe sa tangente au point (x,, y,). Cette tangente a pour équation (100)

En y faisant y = 0, on obtient pour l’abscisse du rencontre l’axe des x

point où clic

C’est une nouvelle valeur plus approchée de la racine que l’on cherche.

Nommons xa celle nouvelle valeur, et yt la valeur correspondante de y. En répétant pour xl et y, les raisonnements et les calculs que l’on vient de faire pour x, et yx, on obtiendra pour la racine cherchée une nouvelle valeur plus approchée

et ainsi de suite.

Si l’on s’est fixé à l'avance le degré d’approximation auquel on veut arriver, on reconnaîtra, en général, qu’on y est parvenu lorsque la quantité

sera numériquement inférieure à l’erreur que l’on consent à commettre.

Mais si l'on veut s’assurer plus exactement que la valeur de x est obtenue avec le degré d’approximation désiré , on pourra recourir au caractère déjà indiqué au n° 385, Rem., mais qui se simplifie dans cette circonstance.

Soient xn la valeur trouvée, et S la limite de l’erreur que l’on veut commettre, on calculera les deux quanlités

f (x„ — S) et /-(x.+S),

elles devront être de signe contraire ; car si la courbe est au-des-

CONSTRUCTION DES RACINES RÉELLES

sous de l’axe des x avant l’inlersection, elle passera au-dessus après l'intersection, ou vice versa. (Nous excluons toujours le cas où il y aurait contact.)

La méthode que nous venons d’indiquer n’est autre chose que la méthode d'approximation de Newton, qui est présentée sous une autre forme dans les traités d’algèbre.

397. I. Prenons pour exemple l'équation algébrique x'— 38,197*î-92708 =0,

c'est celle qu’on aurait à résoudre si l'on cherchait le rayon qu’il faut donner A un tuyau de f>00" de longueur pour qu’il pût débiter, sous une charge de 10* d'eau , un volume constant de 50 litres d'eau par seconde. Le rayon x est ici exprimé en centimètres.

En construisant la courbe représentée par l’équation y=*s— 38,197*»— 92 708

on reconnaît qu'elle coupe l'axe des x à droite de l'origine, en un point dont l'abscisse est comprise entre 9 et 10, mais plus voisine de cette dernière valeur. Sil’on prend pour première valeur rapprochée x — 10, on trouve

et par conséquent

= — 00,7 environ.

On pourra donc prendre pour seconde valeur approchée *=10-0,07=9,93,

ce qui donne f(*)= +74,177 , /’(*) = + 47856,01 ,

d'où -^|=— 0,00155.

Par suite *=9,93 — 0,00155 =9,284....

Comme il serait illusoire , en calculant le rayon d’un tuyau, de pousser l'approximation au delà des dixièmes de millimètre, on voit qu'on aurait pu s'en tenir à la valeur *=9,93.Et, en effet, on a

ft9, 93) = + 74, 177 et f(9 ,92)= — 403,891 ;

ainsi x est compris entre 9,92 et 9,93; cette dernière valeur est donc approchée à moins d'un centième de centimètre , ou d'un dixième de millimètre.

Le diamètre du tuyau, rapporté au mètre, est en conséquence 0*,1986.