CHAPITRE XIII
ÉTUDE DES SECTIONS PLANES DO CÔNE ET DO CTL1NDKB DROIT A BASE CIRCULAIRE,
308. Section do c6nei méthode analytique. Les lignes du second ordre, étudiées avec tant de détail dans cet ouvrage, ont
été l’objet de nombreux travaux de la part des anciens géomètres, qui les désignaient sous le nom de sections coniques. Nous allons faire voir qu’il y a en effet identité entre ces courbes et celles qui résultent de la section d’un cône par un plan.
Soient SAB (fig. 157) un cône droit A base circulaire; YCX, un plan sécant; SA, SB, les génératrices “ situées dans le plan perpendiculaire à YCX. Désignons l’angle du cône Fîg. 1*7. par 2a, l’angle SCX que fait le plan
sécant avec la génératrice SA par 2p, et la distance SC par d. Enfin, prenons pour axes, dans le plan sécant, l’intersection CX de ce plan et du plan SAB, et une perpendiculaire CY.
Pour obtenir l’équation de la section CM, imaginons par l’ordonnée MP un plan perpendiculaire à l’axe du cône. Ce plan coupera le plan ASB suivant une droite DPE et la surface du cône suivant un cercle DME dont DE sera un diamètre. On aura donc
MP* ou y’=DP. PE.
Or, le triangle DCP donne
DP = CP
sin DCP x sin B
sin SliP cos a
368 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. D’ailleurs, si on mène CF parallèle à DE et PH parallèle à SB,
on aura PE = FU = CF — CH.
Mais CF = 2CI.= 2 d sin a,
CH = CP sin CPH x sin (? + 2 »)
"sin CHP cos a
Donc
et, par suite,
PE = 2d sin a
jsin(p-f-2a) COS a ’
. 2rfsin«sinp y' = -x-
COSa
sin p sin (P4-2*) ,
COS’a X
Telle est l’équation de la section. On voit déjà que c’est une courbe du second degré : quant à son espèce, ce sera
une ellipse si on a sin (p+2»)>0, c’est-à-dire p-f-2a<180",
une hyperbole si on a sin (p-j-2«)<;0, » p-f-2a>18û’,
une parabole si on a sin (p-(-2a)=0, » p-f-2a=l80°.
Or, les inégalités
sont précisément les conditions que doivent remplir les angles 2a et p pour que CX rencontre SB au-dessous de S, au-dessus, ou bien lui soit parallèle. On peut donc dire :
Ou 'une section conique est une ellipse, lorsque le plan sécant rencontre toutes les génératrices sur une même nappe; une hyperbole, lorsqu' il rencontre les deux nappes; une parabole, lorsque le plan est parallèle à une génératrice et qu'il coupe toutes les autres.
Ainsi l’in/mection d'un cône et d'un plan peut donner les trois courbes du second degré. Cherchons maintenant si la réciproque est vraie, c’est-à-dire s’il est toujours possible de résoudre le problème suivant.
390. Problème. Placer sur un cône de révolution donne une courbe du second degré donnée.
Le problème revient à identifier les équations
, 2dsin « sin sin p sin (P + 2oO,
COS a COS*a
y’=2 px+qx* [2],
qui représentent l’une, une section conique, et l’autre, corn me nous l’avons vu (203, Rem. II), une courbe quelconque du second degré rapportée à un axe et à la tangente au sommet situé sur cet axe.
Les inconnues d et p s’obtiendront en résolvant les équations 2<isin«sinp r„,
La seconde, qui ne renferme que p , revient à la suivante cos (2 p — 2 o) — COS 2a= 2 q COS’a, ce qui donne, en remarquant que cos2a=2cos5a — l,
COS (2 p + 2a) = 2(l-f-y)C0S ’ a — 1 .
Pour qu’on puisse en tirer une valeur de p, il faut que la valeur absolue du second membre soit moindre que 1. On devra donc avoir
[2(1+9) COS 'a— I]’ — 1<0,
ou en décomposant le premier membre en facteurs et en supprimant le facteur positif 4cos,a,
(l+9)[(l + 9)cos’«-l]«),
Or, 1° Si l’équation [2] représente une ellipse, on a 9 <0 et > — 1. Donc 1+9 est positif; (l+yjcos’a— 1 est négatif, et l’inégalité [5] est satisfaite d’elle-mêine. Donc l’angle p est réel ; comme d’ailleurs la valeur, de d tirée de l'équation [3] est elle— GÉOM. ANAL. 24
même réelle, on voit que tonie ellipte donnée peut se placer sur un
cône donné.
2° Si l’équation [2] représente une hyperbole, q est positif, et l'inégalité [5] devient, en supprimant le facteur 1+g.
ce qui donne
(1 + 9) cos1» — 1<0,
Or, en appelant a et b les axes de l’hyperbole, on a 9=^r> par suite
COS*a<;-
ar
Mais* a* +6' tes, donc
:cos’t, en appelant y le demi-angle des asympto-
COS*a<COS*Y, d’où, puisqu’il s’agit d'angles nécessairement aigus,
Donc, pour qu’une hyperbole donnée puisse être placée sur un cône donné, il faut que f angle des asymptotes, qui contient la courbe, soit moindre que l'angle formé par les génératrices opposées du cône.
Mais si l’angle « n’est pas donné, on pourra toujours le choisir /le manière que l’inégalité
COS a<COSy
soit satisfaite, d’où l'on conclut qu’on trouvera toujours un cône sur lequel on puisse placer une hyperbole donnée.
3° Si l’équation [2] représente une parabole, on a ç = 0 et l’inégalité [5] est satisfaite d’elle-mème. Donc on peut toujours, sur un cône donné, placer une parabole quelconque.
Nous avons démontré que toute section conique est une courbe du second degré : la discussion à laquelle nous venons de nous livrer montre que réciproquement toute courbe du second degré peut être considérée comme une section conique.
400. Section do rylindre droit à base circulaire . Le plan YCX restant fixe, ainsi que la base du cône, si on suppose que le sommet S s’éloigne indéfiniment sur la droite SO, le cône tendra de plus en plus vers un cylindre droit ayant pour base le cercle Al$. La quantité CI = dsin a tendra vers le rayon r de ce cylindre; l’angle a sera nul à la limite. Introduisons ces hypothèses dans l'équation générale des sections coniques, elle deviendra
y’=2rsin p.x — sin’p. a? [I],
équation qui représente une ellipse.
Pour placer une ellipse dont les axes sont a et b sur un cylindre, il faut identifier cette équation avec la suivante
ce qui donne
et b=r. -
Donc on ne peut placer sur un cylindre donné que des ellipses dont le petit axe est égal au diamètre du cylindre.
