O^C R CC

0'G-hO'C'~ R-*-tt' "^""R + R' ^'

montre que, pour que O'G soit plus grand que R, il faut et il

suffit que !a distance CC' des centres soil plus grande que la

somme II -f- K' des rayons, c'esl-à-dire que les deux cercles soient extérieurs l'un à l'autre. Quand les deux cercles sont tangents extérieurement, on a CC = K -f- K', par suite O'C = II, ei le point 0' n'est autre (jue le point de contact des deux cercles; il n'y a dans ce cas qu'une taugente commune intérieure.

Fig. i5s. Fig. i53.

Deux cercles tangents extérieurement (^g^. ï54) ont trois tangentes communes, deux extérieures, une intérieure.

l42 GÉOMÉTRIE FLANE.

Deux cercles sécants [fig, i55) ont deux tangentes communes qui sont extérieures.

Deux cercles tangents intérieurement [fg, 1 53) ont une seule tangente commune , qui est extérieure. Deux cercles intérieurs l'un à l'autre n'ont point de tangente commune.

Nous avons supposé les deux cercles inégaux. Si l'on avait R = R', les formules précédentes deviendraient

ce rr' OC = R. — =<», 0'C=— .

Le point 0 s'éloignnnt infli'fiiiimeni sur la lif^ne des centres, les inngcnles communes extéi ieures seraient parallèles à cette ligne ; et quant aux tangentes communes intérieures, elles se couperaient au milieu de la ligne des centres.

PEOBLÈMË.

218. Construire sur une droite donnée : un triangle sent' hlahle à un triangle donnée 2,^ un polygone semblable à un poly gone donné [Jig • 1 5 G ) .

FiQ. i56.

I* Pour construire sur la droite A'B% considérée comme l'homologue de AB, un triangle semblable au triangle ABC,

faites un angle B'A'C égal à l'angle BAC et un angle A'B'C

égal à l'angle ABC. Le triangle A'B'C ainsi obtenu et le triangle donné ABC seront semblables comme ajanl deux angles égaux chacun à chacun (HS).

2** Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme l'homologue do AB, un iiulygone semblable au polygone AB(M)E, décomposez ce dernier polygone en tiiangles, on menont i)ar l'un des sommets A les diagonales AC, AI). Construisez alors sur A'B' un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, puis sur A'C un triangle A' CD' semblable au triangle ACD, eniin

LiyU III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l43

sur A'D' un triangle A'D'E' semblable au triangle ADE. Le polygone A'B'G'D'E'ainsi obtenu et le polygone donné ABCDE seront semblables* comme composés d*un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés ( 185).

219. Si, au lieu de donner un côté A'B' du polygone demandé, on donne le rapport do similiiude ^ des deux polygones, on appliquera la solution précédente, en construisant préalablement une droite A'B' dont le rapport à AB soit égal

SCOLIB.

220. Parmi les procédés généraux qui servent à la résolution des problèmes, il importe de signaler celui qui- consiste à construire une figure semblable à la figure cherchée avec des éléments pris parmi les données; on passe ensuite de cette figure auxiliaire à la figure demandée, en comparant deux éléments'homologues des deux figures.

Fig. i57.

Fijj. i58.

Soil proposé, par exemple, de construire un triangle ABC dont on donne les trois hauteurs a, 6, •/ [fig^ ï^^); a, b, c, étant les côtés du triangle inconnu , et BD et AE étant les hauteurs 6 et ce, les triangles semblables CBD, CA£, donnent;

On a de même

ce

et, par suite.

Si donc on construit un triangle \'BC' ayant pour côtés

BC'=6, A! a = 01, A'B=y,

ce triangle sera semblable au triangle cherctié ABC, et pour avoir ce dernier triangle, il sufûra de prendre sur la hauteur issue du sommet B une longueur BI>=: 6, puis de méner par le point D la parallèle AC à ÂfC\ y A ce procédé s'en rattache un autre, qui consiste à renverser l'énoncé du problème à résoudre, c'est-à-dire à prendre les données pour inconnues, et réciproquement. En résolvant cette nouvelle question, on construit une figure semblable à celle que l'on cherche, et si l'on connaît alors une seule ligne de cette dernière, il est facile de la construire ellemême. Soit proposé, par exemple, &* inscrire dems un triangie donné ABC un triangle ayant ses côtés parallèles à ceux dun second triante donné def {Jig. i58). On commencera par circonscrire au triangle def un triaiiiîle abc ayant ses cùlés respcclivenicnt parallèles à ceux du triangle ABC. La figure ainsi formée sera semblable à la figure cherchée, et il suffira de pariag(;r le côié AB dans le rapport de db à da pour avoir le sommet D du triangie demandé.

EXERaCES.

i. Mener par un point donné, entre deux droites données, une droite '

telle, que le point donné la partage dans un rapport donné — •

8. Déterminer hors d*un cercle un point tel, que la somme des deux tangentes menées au cercle par ce point soit égale à la sécante entière qai passe par ce point et le centre du cercle.

3. Inscrire dans un triangle un rectangle dont le rapport des côtés soit donné. .

4. Étant donnés une circonférence et un point, mener par le point une sécante qui soit divisée par cette circonférence dans un rapport donné.

GÉOMÊTAIE PI.A.MB.