LIVRE III. — LES nCUUS SEMBLABLES. J

5. On donne deux cercles qui se coupent ; mener par un de leurs points d'intersection une sécante telle, que le produit des deux cordes interceptées soit égal à un carré donné.

6. Inscrire dans un triangle un pandlélogramme semblable à un panil> lélogramme donné.

7. Construire un triangle, connaissant sa base, la somme ou la différence des deux autres côtés, et bâchant que son troisième sommet est situé sur une droite donnée.

8. Construire un triangle, connaissant un cftté, un angle et le rapport des deux autres côtés.

9. On donne trois points A, B, G; mener par le point A une droite telle, que les perpentUcnlaires abaissées sur elle des points B et G aient leurs pieds à des distances du point A qui soient dans un rapport donné.

10. Construire un carré, connaissant la somme ou la différence de sa diagonale et de son côté.

11. Étant données deux droites qu'on ne peut prolonger, mener par un point donné une droite qui aille passer par le point de concours in* connu des deux premières.

12. Mener par le point d'intersection de deux circonférences une sécante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux drconférences soient dans nn rapport donné.

13. Décrire une circonférence passant par deux points donnés et tangente, soit à une droite donnée, soit à une circonférence donnée.

14. Par un point donné, faire passer une circonférence qui touche deux droites données.

15. Par un point donné, hire passer une drconférenoe tangente à deux circonférences données.

iQ. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à une droite et à une circonférence données.

17. Gonstruire une circonférence tangente à deux droites données et à une circonférence donnée.

18. Gonstruire une circonférence tangente à une droite donnée et à deux circonférences données.

l46 GÉOMÉTRIE PLANE.

Programme officiel : Polygones réguliers, — Leur inscription dans le cercle : carré y hexagone, — Moyen iV évaluer le rapport approché de la circonférence au diamètre,

• DÉFINinOIfS.

Un polygone est dit régulier, lorsqu'il a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Tels sont» par exemple, le triangle équilatéral et le carré.

fi On noninio ligne brisée régulière toute ligne brisée convexe / qui a ses côtés égaux et ses angles égaux.

222. On peut toujours inscrire ou circonscrire à une circonn fêrence donnée un polygone régulier d'un nombre donné de côtés,

Fig. iSg. Kg. 160.

Supposons la circonférence divisée en n parties égales, n étant le nombre de côtés que doit avoir le polygone.

i"* En menant [Jig, 169) les cordes AB, BC,. . . , qui unissent les points de division, on aura un polygone régulier inscrit de n côtés. En effet, les côtés de ce polygone sont égaux comme cordes d*arcs égaux; et ses angles sont égaux, comme inscrits dans des segments égaux, car tout angle ABC du polygone est inscrit dans un segment correspondant à deux divisions consécutives de la circonférence.

a* En menant des .tangentes {Jîg. 159) par les points de division A, B, G,. . ., on aura un polygone régulier circonscrit

miB m. — ^ U8 I161J1BS SBDLABUg.

de n côtés. En effet> dans les triangles 6AB, HBG,. • les côtés ABy BG,. . sont égaux, et les angles en A, B, G,.. formés par une tangente et une corde, sont aussi égaux comme ayant tous pour mesure la moitié d'une division de la circonférence; dès lors les triangles GAB, HBC,..., sont isocèles et égaux, et l'on a d'une part G = H = K = . . ., et de l'autre AG — GB=:BH=rHC = CK,...,d'où l'on déduit GH = 1IK=... Ainsi le polygone GIIK... a ses angles égaux et ses c^tés égaux.

D'après cette démonstration, pour avoir le polygone régulier de n côtés circonscrit à un cercle, il suffit de diviser la circonférence en n parties égales et de mener des tangentes par les points de division. Or, les milieux M, N, P,..., des arcs AB, BC, CD,. . ., qui sous-tendent les côtés du polygone régulier inscrit (Jig, i6o), divisent évidemment la circonférence en n parties égales. On aura donc un polygone régulier circonscrit de n côtés en menant des tangentes par ces points. On préfère souvent cette seconde manière d'opérer, parce que le polygone A'BX'D'..., ainsi obtenu» a ses côtés palallèies à ceux du polygone Inscrit ABCD..., et ses sommets A% B% G'y • . . , sur les mêmes rayons OAA', OBB' , . . . , que les sommets du polygone ABGD. ... En effet, d'une part deux côtés, tels que BG, B' G', sont parallèles comme perpen^ diculaires sur la même droite ON, et d'autre part deux tangentes, telles que MB', NB% doivent se couper ( 157 ) sur la bissectrice OB de l'angle MON.

â23. Béciproquehekt, on peut îaujoun inscrire et eircon^ écrire une circonférence à un polygone régulier donné»

Soit ABCDEF le polygone régulier donné {Jig. i6i ).

1° Pour démontrer qu'on peut circonscrire une circonférence à ce polygone, il suffit de prouver que la circonférence qui passe par trois sommets consécutifs quelconques A, B, C, passe par le sommet suivant D. Or, soit 0 le centre du cercle déterminé par les trois points A, B, C; menons OA, OD, et la perpendiculaire OH sur BC. Replions le quadrilatère ABHO autour de OH ; les angles en H étant droits, BH prendra la direction HC, et le point B tombera en C, puisque BH^^HC. Mais le polygone étant régulier, l'angle ABU est égal à l'an-

to.

l43 GÉOMÉTUB PLANE.

gle HCD, comme le côié BA au côié CD ; par suite, le côté BA prendra la direction CD, et le point A tombera en D. Donc CD est égal au rayon OA» ei la circonférence considérée passe par le point D.

a* Les côtés AB, BC,. . étant des cordes égales du cercle circonscrit, les perpendiculaires OH» 06,..., abaissées du centre 0 sur ces cordes, seront égales (100); donc, si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, on décrit une circonférence, chacun des côtés du polygone sera touché en son milieu par cette circonférence, qui dès lors sera inscrite au polygone.

Fig. i6i.

CoaOLLATRBS.

224. On nomme centre d'un polygone régulier le centre commun 0 de la circonférence inscrite et de la circonférence circonscrite. Ce point, étant à égale distance de tous les côtés et de tous les sommets, est à la fois le point de concours des bissectrices de tous les angles cl des perpendiculaires élevées sur les milieux des divers côtés.

On appelle ray^n d'un polygone régulier le rayon du cercle circonscrit, et apothème de ce polygone le rayon du cercle inscrit.

On nomme ang^e au centre d'un polygone régulier l'angle AOB de deux rayons consécutifs ; cet angle est évidemment égal à l'angle GOHde deux apothèmes consécutifs, et,par con* séquent, est le supplément de l'angle 6BH du polygone régulier. D'après cela, si n est le nombre des côtés du polygone, et si l'on prend l'angle droit pour unité, l'angle au

centre vaudra ~> et l'angle du polygone ^* On voit ainsi*

que, sauf le triangle équilatéral dont les angles sont de 6o degrés, et le carré dont les angles sont droits, tous les polygones réguliers ont leur angle obtus.

Digitizeu Lj, v^jOOgle

UTRB in. U8 nonsB sbulables. i49

225. On prouverait, par des raisonnements identiques aux précédents, que toute lignoe brisée régulière est inscriptible et circonscripUble, et, par suite, qu'elle a un centre» un apothème et un rayon qui sont le centre et les rayons des circonférences inscrite et circonscrite. Une ligne brisée régulièrie ne diffère d'une portion de polygone régulier qu'en ce que son angle au centre n'est pas forcément une parlie aliquote de quatre angles droits.

THÉORÈIIB.

226. I* Deux polygones réguliers d*un même nombre de eàiés sont semblables*

ik^Leur rapport de similitude est égal à celui de leurs ntjrons ou de leurs apothèmes.

Fig. i6a.

Bn effet :

t* Ces polygones ont les angles égaux, puisque la valeur de l'angle d'un polygone régulier ne dépend que du nombre des côtés ( 224), et que le nombre des c6tés est le même dans les deux figures ; de plus, les côtés sont évidemment proportionnels, puisque, dans l'une et l'autre figure, ils sont égaux. Donc, les polygones considérés sont semblables.

2» Soient {Jig, i6?) AB le côté tlu premier polygone, 0 son centre, OB son rayon, OF son apothème; soient de même A'B' le cùié du second polygone, 0' son centre, O'B' son rayon et O'F' son apothème. Les triangles rectangles AFO, A'F'O', sont semblables (180), puisque les angles FAO, F'A'O', sont égaux comme moitiés des angles égaux ABC, A'B'C (224). Oh a donc

AF OA^ OF A'F O'A'"" O' f'

mais les polygones proposés étant semblables, leur rapport de

l5o 6É0HÉTBIE PLANE.

similitude est égal au rapport 4es côtés AB, AfB\, ou des demi-côtés AF, A' F'; il est donc aussi égal au rapport des rayons OB, O'B^ ou au rapport des apothèmes OF, O'F'.

CO&OLLAI&E.

SSfiT. Le rapport de deux eireonférenees quelconque* eit égal uu rapport de leurt rajrom.

On appelle longueur d'un arc de cercle la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée régulière inscrite dans cet arc, lorsqu'on lait croître indéfiniment le nombre de ses côtés ( * ).

En particulier, on appelle longueur d*une circonférence la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés croit indéfiniment.

Cela posé, soient R et h! les rayons» el G et G' les longueurs de deux circonférences ; inscrivons dans la première un polygone régulier quelconque et» dans la seconde, un polygone régulier d'un même nombre de côtés. P et P' étant les périmètres de ces polygones, on aura (226)

Cette proportion, ayant lieu quel que soit le nombre des côtés des deux polygones, subsistera quand on fera croître ce nombre indéfiniment; mais alors les périmètres P el P' tendront vers leurs limites respectives G et C, et leur rapport tendra G

vers ^ • On aura donc, à la limite,