La proposition précédente donne

R~R' aR'^aR''

( *) Pour jmtiflor cette définition, il fandrtit pronver qw «ette limite eiiste,

et qu'elle est unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle on fait croître le nombre des oôtca (iiotr pour cette démonatratioa notre Traité de Géométrie),

UTRS III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l5l

Jkme, le nippon d*une circonféreDce à son diamètre est Je même pour toutes les circonférences; en d'autres termes :

Le rapport de la circonférence au diamètre ett un nombre constant*

Ce nombre» qu'on représente ordinairement par it, est In* commensuralile; on ne peut donc pas l'avoir exactement; mais on peut le calculer, comme nous le montrerons bientôt, avec telle approximation qu'on veut.

PROBLÈME

Inscrire un carré dans un cercle donné {fig. iG3).

FIg. i63.

Il suffit évidemment de mener deux diamètres AC et BD perpendiculaires entre eux, et de joindre leurs exlrémités, pour avoir le carré demandé ABCD.

Le triangle AOB, reclangle en 0, donne

ÂB' = Ôi'-4-CiB' = aÔÂl d'où ABmOA.Vî.

Ainsi, le côté du carré inscrit dans le cercle de rayon V^ est égal à R v^.

Il convient de remarquer que l'apothème du carré inscrit est égal à la moitié de son côté, et que le côté du carré circonscrit est égal au diamètre du cercle considéré.

GoaOLLÀIAB.

230. Du carré, on passe & l'octogone régulier inscrit en divisant [Jig, i63) cliacun des arcs AB, BC, CD, DA» en deux parties égales. On déduirait de même de l'octogone le polygone régulier de t6 côtés. et ainsi de suite. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 4> S> 32>. . . ei, en général, de 2," côtés.

l5a GtOMtTEn PLAKB.

PROBLËM£.

231. Irucrire un hexagone régulier dan* un cercle [fig, 164).

Supposons le problème résolu, et soit ABCDEF l'hexagone demandé. £a menant deux rayons consécutifs OA, OB, on ob-

tient un triangle OAB qui est isocèle, et, par suite, dont les angles A et B sont égaux. Mais, si l'on remarque que le rayon BO prolongé passe par le sommet E de l'hexagone, on voit que l'angle inscrit ABE a pour mesure la moitié de l'arc AFE, c'est-à-dire une division de la circonférence; et comme l'angle au centre AOB a aussi pour mesure une de ces divisions AB, les deux angles ABO cl AOB sont égaux, et le trinnglo OAB est équilatéral. Donc, le côté de V hexagone inscrit dans un cercle est égal an rayon l\ de ce cercle.

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit, d'après cela, de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon, et de joindre les points de division consécutifs ainsi obtenus.

GotOLLAlRES.

232. En joignant de deux en deux les sommets de l'hexagone» on obtient le triangle équilatéral inscrit ACE. Le triangle rectangle ACD donne

AC'= ad' - CS' = 4R' - R» = 3R»,

d'où