LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l

AiDSiy le côté du triangle équilntéral inscrit dans le cercle de

ngron R et/ égal à R^; son apothème OG est d'ailleurs égal à la moitié du rayoo, car la figure ^BCO est un losange.

233. En nicnani des langenies par les points B, D, F, on ' forme le triangle équilaiéral circonscrit A' CE', dont les côtés sont parallèles à ceux du triftigle équilatéral inscrit ACE. Le rapport de similitude de ces deux triangles est égal (^) à OB

c'esl-à-dire à 2. Ainsi, deux lignes homologues quelconques dans le triangle équilatéral circonscrit et dans le triangle équilatéral inscrit, sont doubles l'une de l'autre.

23''f. De rhexngone, on passe au dodécagone régulier inscrit en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les côtés deThexagone; on déduirait de même du dodécagone le polygone régulier de 24 côtés. . et ainsi de suite* On peut donc, avec la règ/e et le compas, inscrire les polygones réguliers de 3, 6> 12,2^,,,,, et en générai de 3.2* côtés.

PROBLÈME

* i35. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle donné, calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nomjbre de côtés double {Jîg. iG5}.

Fig. i65.

Soient ABssa le côté donné et R le rayon du cercle; CD étant le diamètre perpendiculaire à AB, AG sera le côté cherché, que nous désignerons par a'.

La corde AG est moyenne proportionnelle entre le diamètre CD et sa projection G£ = OC — 0£ sur ce diamètre; on a donc

= aR(R ^ OE) = R(2R aOE).

DigitizcG by Li(.)o^le

1 54 «ttOMinil FLARI.

Mais le triangle rectangle A£0 donne

On a donc flnaleineiit

(i) <i' = VR(aR- v^4H» — «').

£n particulier, lorsqu'on prend le ra^on pour unité, on a

'* On peut donner à cette relation une autre forme 'plus com- I mode pour le calcul numérique. Le produit de la somme

% + ^4 — par la différence » ^ ^^ — 4fif est égal k la différence des carrés de a et de v^4 ~ c'est-à-dire à

4^(4-a«) = rt'.

Far suite, on a

a 4- v^4""*' et enfin

Va -4- v^4 — PROBLÈME.

Î36. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans

un cercle donné, calculer le côté du polygone régulier circonscrit semblable {Jig, i66),

Fig. i66.

Soient AB = a le côté donné et R le rayon du cercle; menons la tangeAte CD au milieu F de l'arc AB et prolongeons-la jusqu'aux points G et D, où elle rencontre les rayons OA et OB prolongés. CD sera le côté cherché (222); désignons-le para.