LIVRE IFI. — lES FIGURES SEMBLABLES. iS

rence, il faut multiplier par le nombre tt le double de la longueur du rayons s" que pour calculer le rayon d'une circonfé^

renée, il faut diviser par tt ou multiplier par ~ la moitié de la

longueur de la circonférence.

Exemples :

i<> Quelle est la circonférence d'une roue de voiture dont le rayon est de o",657

En molUpHani le rayon o<*,65 par 6,28 qui est la valeur de 2ir à moins d'un centième» on trouve pour la circonférence cherctiée 4""»^ ^ moins d'un centimètre.

s" Quel est le rayon du méridien de Paris?

On sait que la demi-circonférence de ce méridien est de aooooooo de mètres; en multipliant ce nombre par o^SiSSogg,

qui est la valeur <le ;^ à moins de j dix^millionième, on trouve

pour le rajon cherché 63G6 197 mètres à moins de 1 mètre.

240. La longueur de l'arc de 180 degrés dans le cercle de rayon R, c'est-à-dire de la demi -circonférence» étant ttR, la

longueur de l'arc de i degré sera et» par suite» la lonr-

gueur l de l'arc de n degrés dans le cercle de rayon 11 a pour expression

- ttR/i f ~~ — — . •

ibo

Celle formule el les deux suivantes,

180/ „ 180/ ttR Ttn

qu'on en déduit, servent à calculer l'une quelconque des trois quantités /» n, R» lorsqu'on connaît les deux autres. Exemples :

Sur une circonférence dont le rayon a o",90, quelle est • la longueur de l'arc de a5'*4^' ^ On a ici

3 io3

l58 GtOaiTlIS PLAI«E.

et par suite

io3

««Oigo , ^^^^ io3.3,i4 „ ,

^ Quel est l'are dont la longueur est égale au rayon P La seconde des formules qui précèdent donne pour le nombre de degrés de cet arc

Il =:i~^= 180° X 0,81830988... =57»iy44",8o..

3° Quel est le rayon du cercle dans lequel l'arc de 3o degrés vaut I mètre?

La troisième formule donne

R = = - = 6.o,3i83 = i",9io.

SCOUB.

241. Deux arcs semblables , c'est-à-dire deux arcs qui répondent à des angles au centre égaux dans des cercles différents» ou qui ont le même nombre de degrés, sont proportionnels à leurs rajrons.

En effet, soient / et l' les longueurs des deux arcs, R et R' leurs rayons, 0 el O' les angles au centre égaux qui correspondent à ces arcs; on a

airK ~ 4 droits* awR' "~ 4 droits'

d'oùy en divisant membre à membre et observant que Oz=(y^

EXERQGES.

1, En joignant de deux en deux les sommets d'un pentagone régulier ou en prolongeant ses côtés de deux en deux, les points d'intersection obtenus foraient intérieurement ou eitérieniemadt un autre pentagone régulier.

2. Si l'on prolonge deux côtés AB et CD d'un polygone régulier de centre 0, séparés par un seul côté BC, jusqu'à leur rencontre en £, le qoadrilaÀre ÂEGO est inscriptible.

UYRE III. — I.SS FIGURES BEHBLÂBLBS. iSq

3. Prouver qu'on peut exécuter un pavage, soit avec des triangles équilatéraux, soit avec des carrés, soit avec des hexagones réguliers. — On no peut le faire en employant des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six c^tés.

4. On peut exécuter un pavage, soit en assemblant à la fois des carrés et des octogones réguliers de même côté, soit en assemblant des triangles équilatéraux et des dodécagones réguliers de même côté, soit en assemblant des décagones et des pentagones réguliers de même côté.

5. Un polygone équilatéral inscrit dans un cercle est régulier. — Un polygone équilatéral circonscrit à un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair,

6. Un polygone équianglo inscrit dans un cercle est régulier, si le nombre de ses côtés est impair. — Un polygone équiangle circonscrit à un cercle est régulier.

7. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un polygone régulier aux m côtés de ce polygone est égale à m fois l'apothème. — Considérer le cas où le point choisi est extérieur.

8. Deux diagon;iles d'un pentagone régulier qui n'aboutissent pas au même sommet se coupent en moyenne et extrême raison.

9. Si d'un point P du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC

on mène des droites à ses sommets, la somme PA + PB + PC est constante. — Si ABCP, A'B'C'P', sont deux cercles concentriques dans les» quels soient inscrits les triangles équilatéraux ABC, A'B'G'« on a

ÂP' V Bf' 4- CP'' = H-BT* + C^* .

10. Sur une droite donnée comme côté, décrire un octogone régulier.

11. Inscrire un triangle équilatéral dans un carré donné, en plaçant l'un de ses sommets soit en Pun des sommets du carré donné, soit an milieu d'un de ses côtés.

12. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances aux sommets d^un polygone régulier est constante et égale à un carré

donné.

13. Sur le diamètre AB d'un cercle 0, on construit un triangle équilatéral ABC : on divise AB en n parties égales, et l'on joint le sommet C à l'extrémité D do la seconde division ; CD prolongée coupe le cercle en F, et l'on demande de calculer la corde AF. — Examiner les cas particuliers de « = 3, 4, 6.

14. Inscrire diins un triangle équilatéral donné trois cercles égaux tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du côté du triangle.

iCo GÉOMÉTRIE PLANE.

15. Djns deux ci rconfé ronces de rayons différents, le rapport des angles au contre qui intercepiuut des arcs de même longueur est égal au rapport inverse des rayons.

16. Démontrer que t: est compris entre 3 et 4, par la considération des périmètres de l'hexagone régulier inscrit et du carré circonscrit.

47. OnoUo erreur commel-on en remplaçant la demi-circonférence d'un cer( 1" ;)ar la somme des c^tés du triangle équiialéral et du carré inscrits dans ce cercle?

18, Si deux circonférences sont tangentes intérieurement à une troisième circonlércnce, et si la somme de luurs rayons est égale à celui de cette troisième circonférence, l'arc compris entre leurs points de contact sur la grande circonférence est égal à la .sounne des arcs res[>ectivement compris sur les circonférences intérieures entre leur point de rencontre le plus rapproché de la grande circonférence et les mêmes points de contact.

19. Si l'on décrit deux demi-cercles égaux sur le diamètre d'un demicercle donné, et si l'on inscrit un cercle dans l'espace compris entre les trois demi-circonférences, le diamètre de ce cercle est à celui des cercles égaux dans le rapport de a à 3.

OlJi:STIOI¥S PROPOSÉES

SDR LE IBOISiftilS UYBB.

1 . Si un triangle circonscrit à un triangle fixe se meut en restant semblable à lui*meme, un point quelconque de son plan décrit une circonférence.

2. Mener à un cercle donné, par deux points donnés extérieurement,

deux sécantes qui se coupent sur le cercle, et dont les deux autres points d'intersection avec la circonférence déterminent une corde parallèle à une direction donnée.

3. Les diagonales ÂC, BD, d'un quadrilatère inscrit ABQ) se coupent en E. Démontrer qu'on a