LIVB£ IT. LES AIRES

THÉOHÈiMI':.

262. Le carré construit sur l'hypoténuse d*un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les

Soii le triangle ACC reciangle en A ; soient les carrés ABDE, ACfG, BCIIK, conslniils sur ses trois cotés. L'angle en A étant droit, le côté AE du carré ABDE sera le prolongement du côlé GA du triangle, et le côté du carré ACFG sera le prolongement du côté BA.

Ceci posé, abaissons sur Thypoténuse BG la perpendiculaire AL, et prolongeons-la jusqu'en I où elle coupe le côlé KH; menons les droites AK et DG. Le triangle ABK a même base BK que le rectangle BKIL, et il a aussi même hauteur, puisque son sommet A se trouve sur la droite IL : le triangle ABK équivaut donc (254) à la moitié du rectangle BKIL. De même, le triangle BCD équivaut à la moitié du carré ABDE, car il a la même base BD et même hauteur, puisque son sommet G se trouve sur la droite £A. D'ailleurs, les deux triangles ABK et BDG sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun h chacun, savoir : Tangle ABK égal à l'angle CBD, comme formés tous deux d'un angle droit et de l'angle ABC du triangle donné ; le côlé BK égal au coté BC comme côtés d'un même carré, le côté AB égal au côté BD pour la même raison. De l'égalité des deux triangles ABK et BDG, on conclut l'équivalence du rectangle BKIL et du carré

On démontrerait d'une manière analogue, en menant les

ABDE.

■ 74 GfiOMfTaiB PLANE.

droites AH et BF, Téquivalence du rectangle GUH et du carré ACFG.

Le carré BGHK, somme des deux rectangles BKIL etCHIL, est donc équivalent à la somme des deux carrés ApDE et ACFG.

SCOLIBS.

263. On peut donner du tliéorème qui précède une autre démonstration qui montre comment on peut décomposer effettivement\e carré construit suri'tiypoténuseen parties capables de recouvrir les carrés construits sur les côtés.

l Fig. 173.

Soit {fig. 173) le iriaiigle ABC rectangle en A. Sur l'hjpolénuse B(>, ronslruisons 1(3 carré JiClllv. Des sommets H et K, abaissons sur le coté Aiî et sur son prolongement les perpendiculaires IIG et Kl; des sommets C et K, menons à ce même côté, jusqu'à la rencontre de HG, les parallèles CF et KL.

Les quatre triangles rectangles ABC, CFH, HLK, KIB, sont égaux, comme ayant l'hypoiénuse égale et un angle aigu égal. GIKL et ACFG sont donc les carrés construits sur les côtés AB et AC du triangle donné. La Ogure montre alors immédiatement que, si l'on enlève les deux triangles HCF, HLK, qui, avec le pentagone irrégulier CFLKB, constituent le carré construit sur rbypoténuse, pour les placer en GAB ei.BKI, on formera, avec les trois mêmes parties disposées de cette nouvelle façon, la figure ACFLKI, qui est précisément la somme des deux carrés construits sur les deux côtés de Tangle droit.

264'. Enfin, on peut déduire le théorème précédent de celui du n*" 200. Car, puisque l'aire du rnrré construit sur une droite a pour mesure le carré du nombre abstrait qui mesure la longueur de cette droite, on volt que le théorème du 200 ex-