LIVRB IV. — LES AIRES. I

prime que la mesure du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés construits sur les côtés de l'angle droit, et par suite que le premier carré équivaut à la somme des deux autres. Inversement, on passerait du point de vue concret au point de vue absirait, c'est-à-dire I du 262 au n* 200, en remplaçant les aires des carrés par leurs mesures respectives.

La même remarque s'applique aux diverses relations numériques que nous avons démontrées dans le § III du livre UI, entre les divers éléments d'un triangle, rapportés à une unité commune. De ces relations, résultent immédiatement autant de tliéorèmes sur les aires; et l'on pourrait inversement donner des démonstraiions directes de ces derniers théorèmes et en déduire ensuite les relations numériques correspondantes.

PROBLÈME

265. Construire un triangle équivalent à un polygone donné {fig- «74).

Soit par exemple le pentagone ABCDE {fg. 174). En menant la diagonale £G, on détache de ce pentagone le triangle ECD. Si par le sommet D on mène alors une parallèle DF à la diagonale EC, tous les triangles qui auront EC pour base cl leurs sommets sur DF seront équivalents au triangle ECD (255), et formeront avec le quadrilatère ECBA un polygone équivalent au pentagone proposé. Or, pour que le nouveau polygone AfiCFE ait un sommet de moins, il $ufiit de choisir

Fig. 174.

parmi tous ces triangles celui dont le sommet est en F, à la rencontre de la parallèle DF et du côte B(] prolongé.

La construction indiquée permettant de transformer un polygone quelconque en un polygone équivalent, mais aj/uni un :

côté de moins, on arrivera toujours, en la répétant, à un triangle équivalent au polygone proposé.

SCOLIB.

266. Le problème procédenl fournit un nouveau moyen pour évaluer l'aire d'un {jolygone; on peut, en elTcl, transformer le polygone considéré en un triangle équivalent, puis calculer l'aire de ce iriiingle.

I Appliquons ce procédé à la recherche de l'aire du trapèze.

Soit (/g. 176) un trapèze quelconque ABCD/ Menons la diagonale DB et la parallèle CE à cette diagonale jusqu'à la rencontre de la base AB prolongée.

Le triangle ADE sera équivalent au trapèze ABCD. Il a d'ailleurs même hauteur DF, et sa base AE est la somme des deux bases du trapèze. On retombe ainsi sur la mesure connue (258).

PROBLÈME