LIVRE IV. — LES AIRES
du polygone proposé, on a la formule
SCOLIBS.
270. Par un raisonnement identique à celui du n* 269, on prouverait que ^aire ittm secteur polygonal régulier OÂGDB {fig, 176) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne brisée régulière AGDB par la moitié de Vapothème 01.
Le même raisonnement prouve encore que Vaire de tout poly gone circonscriptihle à un cercle a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrits car cette aire est la somme de tous les triangles qui ont pour sommet commun le centre du cercle inscrit et pour bases respectives les divers côtés du polygone, triangles qui ont tous pour hauteur le rayon du cercle.
THÉORÈME
971. L'aire cTiui cercle a poisr mesure le produit de sa cir» conférence par la moitié du rayon.
L'aire du cercle est la limite des aires des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, R, l'aire, la circonférence et le rayon du cercle considéré, et s, p, a, l'aire, le périmètre et l'apothème d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle. On a (209)
Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, s tend vers S, p vers G et a vers R. On a donc, à la limite.
272. £n remplaçant dàns la relation précédente la circonférence G par sa valeur 1
Corollaires.
G=27rR,
f8o GÉOMÉTRIE PLAKB.
on obtient la nouvelle formule
(3) S = irR',
qu'H faut retenir par coeur et qui montre :
1° Que, pour calculer iaire d'un cercle de rayon donné , il faut multiplier par 7: le carré du rayon;
2? Que, pour calculer le rayon d'un cercle d'aire donnée, il
faut multiplier por^ ou diviser par tt le nombre qui exprime
celte aire, et extraire la racine carrée du résultat.
Si, au lieu d'éliminer C mire les relalioiis (1.) et (2), on élimine R| on trouve la formule
(4) 8 = fi.
qui permet de calculer directement la surface, connaissant la circonférence; ou la circonférence, connaissant la surface. Cette formule est beaucoup moins usuelle que les précédentes.
Exemples :
I® Quelle est l'aire d'un bassin circulaire dont le rayon est 2'»,5î
On a
S = TT ( a,5 )« = 9r.6,25,
et en prenant pour:: la valeur 3,14^ approchée à moins d'un millième, on trouve S = i9'°s63 à moins d'un décimètre carré.
a* Quel est le rayon du cercle dont l'aire est de ao mètres carrés?
La form u I ô tt R* = ao
donne
à moins d'un centimètre.
3° Quelle est l'aire d'un cercle dont la circonférence est égale à 10 mètres?
On a
S = -^'.^=î. 31,83 = 7-1,96, à moins d'un décimètre carré*
LITRE Vf. LES AUES. l8l
THÉORÈBfE.
273. L'aire d'un secteur circulaire a pour mesure le produit de Èon arc par la moitié du rayon*
L'aire du secteur circulaire est la limite des aires des sec-^ teurs polygonaux réguliers inscrits dont on foît croître indéfinimeni le nombre des côtés. D'après cela» soient S l'aire du
secteur considéré, / la longueur de l'arc qui le termine, et R le rayon de cet arc ; soient de même s l'aire d'un secteur polygonal régulier inscrit, p le périmètre de la ligne brisée régulière qui le teruiiue, et a l'apothème de celte ligne brisée. On a (270)
Mais lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne 'brisée régulière inscritCi « tend vers S, p vers 1^ et a vers R. On a donc» à la Hmite,
GOROIXAIRIS.
274. En comparant les formules (i) et (5), on voit que le secteur est au cercle entier comme son arc est à la circonférence.
Si n est le nombre de degrés de l'arc, le rapport dé cet arc
fi
à la circonférence sera ^g^» et par suite l'aire S du secteur
s'obtiendra en multipliant par ce rapport l'aire vK* du cercle» de sorte qu'on aura
Cette formule permet de calculer l'une quelconque des quantités S, R, n, lorsqu'on connaît les deux autres.
ËXE1IPI.BB :
I* Quelle e$t l'aire du secteur de 6o degrés dans le vercle dont le mgron est lo mètres ?
iSs GfiOVÉTBIB PLiNX.
L'arc de 60 degrés étant le sixième de la circonférencet le
secteur est le sixième du cercle, c'esi-à-dire
à moins d'un centimètre carré.
2* X'aire d'un secteur est égaie à l'aire du carré construit sur le rayon. Quel est le nombre de degrés de tare qui le termine?
La formule
donne
» = —=ii4°35' 29^,6
3° Quel est le rafon du cercle dans lequel le secteur de 45 degrés renferme o'"i,i25o '/
La formule
iiR'^j = o,ia5o ou irR* = o,i25o.8 = i
donne
SCOLIB.
275. L'aire d'un segment circulaire a pour mesure le prodiiit de la moitié du rayon par l'excès de son arc sur la moitié de la corde de l'arc double {fig. 178).
En effet, le segment ÂMB, c'est-à-dire la portion du cercle comprise entre l'arc ÂMB et sa corde AB, est égal à l'excès de l'aire du secteur OAMB sur l'aire du triangle OÂB. Or, l'aire
LITKi lY. — LES AIRES. 1Ô3
du secteur a pour ^mesure arc AB--OA; Taire du triangle a
pour mesure BP OA, BP étant la perpendiculaire abaissée du
point B sur le rayon OA, c'est-à-dire la moitié de la corde BB' de l'arc BAB' qui (98) est le double de l'arc AB, On a donc, en désignant par S l'aire du segment,
S = arc AB. - OA - - BB'. - 0 A,
oa
S=!^^arcAB — ^BB'j.
Lorsque la corde BB' est le côté de l'un des polygones réguliers que l'on sait inscrire (liv. III, § V), on peut calculer directement cette corde, par suite Taire du segment ; sinon» il faut recourir aux tables irigonométriques»
Etemple :
Quelle est Voire du segment de 6o' degrés dans le cercle dont le nifan est a mètres ?
L'arc AB est ici le sixième de la circonférence ; il est donc égal à
4ir air
La corde BB' est le côté du triangle équilatéral inscrit, égal
à 1 V 3 > ^n a duiic
à moins d'un millimètre carré.
\. La différence entre les aires du carré et do l'hexagone régulier inscrits dans un cercle est de 4""*J calculer l'aire de ce cercle à un centimètre carré près.
2. L'aire d'un cercle surpassant l'aire de l'hexagone régulier inscrit de 62.""i,25, calculer le rayon de ce cercle à moins d'un millimètre.
l84 CÊOMÉTRIE PLANE.
3. Trouver en fonction du rayon du cercle circonscrit l'aire du dodécagone régulier.
4. L'aire de l'oclogono régulier inscrit dans un cercle équivaut à celle du rectangle qui a pour côtés adjacents les côtés des carrés inscrit et circonscrit.
5. L'aire de l'hexagone régulier inscrit dans un oerde est les trois quarts de celle de l'hexagone régulier drconscrit.
6. L'aire de l'hexagone régulier inscrit est la moyenne proportionnelle des aires des triangles équilatéraux inscrit et ciroonscrit.
7. Étant donné un polygone régulier, on mène les diagonales qui sonstendent successivement deux côtés; ces diagonales délorminenl par leurs intersections un autre polygone dont on demande la nature, et l aire en fonction de celle du premier polygone.
8. On prend les points B et D à égale distance des extrémités do l*arc d'un quadrant ÂOG, et on mène sur OC les perpendiculaires C6 et DH; démontrer que la figure mixtiligne £GHD est équivalente au secteur OBD.
9. Si l'on prend un point C sur le diamètre AB d'un cercle, l'air» com* prise entre ce cerde et les çerdes décrits sur les s^ments AG et CB comme diamètres équivaut au cercle qui a pour diamètre la moyenne proportionnelle des segments ÂC et CB.
10. AB étant un arc de cercle de centre 0 et AD une perpendiculaire au rayon OB^ on prend Tare AC égal à cette perpendiculaire; démontrer que le secteur BOC est équivalent au segment AGB.
11. Si des demi-cercles sont décrits sur les trois côtés d'un triangle recliingle comme diamètres, et si l'on tourne vers l'intérieur du triangle ceux décrits sur les côtés de l angle droit, la somme des segments extérieurs correspondants aux côtés de l'angle droit, moins la somme des segments déterminés par l'hypoténuse, équivaut à l aire commune aux demi-cercles décrîtd sur les côtés.
12. Si AB et CD sont deux diamètres perpendiculaires d'un cercle 0 et si, du point D comme centre avec DA pour rayon, on décrit un arc de cercle AE6, démontrer que l'aire de la lune AbBC équivaut à celle du triangle DAi3.
