A.UD

son LE QUATRIÈME LIYftE.

4. On donne un triangle ABC; aux points B et C, et d'un même côté de BC, on mène à celle droite des perpendiculaires BD et CE qu'on prend égales à deux lois la hauteur du triangle ABC. Les points F et G étant les milieux des cùiés AB ei AC, démontrer que le triangle ABC est équiva> lent à la somme ou à la différence des triangles BDF, CEG, suivant que ses angles en B et en C sont ou non tous les deux aigus.

2. On donne un rectangle ABCD; on prend un {)oint quelconque E sur BC, un point quelconque F sur CD. Démontrer que le rectangle ABCD équivaut au double du triangle AEF, augmenté du rectangle ayant pour dimensions les segments BE et DF.

3. Tout rectangle est moitié du rectangle qui a pour dimensions les diagonales des carrés construits sur ses côté.^ ;uijac i iils.

A. Dans un triangle ABC, le côté AC est doubh^ du côté BC; on mèno les bissectrices CD et CE de l'angle C du triangle et de son siipiilémcnt formé en prolongeant AC. Démontrer que les aires des triangles GBD, AGD, ABC, CD£, sont dans le rapport des nombres i, 2, 3, 4*

fî. Si, des sommets C (^t I) d'un qn.idrilalèro ABCD et de l'inlcrseclion K (if SOS (li;i;:^oiialos, des perpendiculaires CF, IXi, EU, sont menétis au côté ÂB^ l'aire du quadrilatère a pour e&pressioa

6. Démontrer que Taire d'un triangle en fonction de ses médianes a, Pf 7, est exprimée par la formule

S = ^V^ep' + a§ Y + a7»a* — «• - f • - /.

7. Étant données les trois hauteurs A, h\ A*, d'un triangle, trouver ses t trois côtés et sa surface.

8. Deux triangles ont un sommet commun ; quel est le Ueu décrit par ce sommet lorsque, les deux bases restant fixes, la somme ou la différence des aires des deux triangles demeure constante ? — Discussion.

9. Si dans la^. 17a du n*" 202 on joint les points B et G> P et H, K et D, on forme un hexagone; démontrer que la somme des carrés construits sur les côtés de cet hexagone est égale à huit fois le carré construit sur l'hypoténuse BC du triangle ABC.

10. Si Ton construit des carrés sur les trois côtés d'un triangle quelconque, et si l'on joint les sommets consécutif^ de ces carrés, on forme

^ un hexagone; démontrer que la somme des carrés construits sur les côtés

de cet hexagone équivaut à quatre fois la somme des carrés construits sur les côtés du triangle donné. — Déduire de ce théorème le précédent.

H. Soit im triangle quelconque ABC; on mène BD perpendiculaire et égale àAB, CE perpendiculaire et égale à AC, et l'on tire DR. Démontrer que la somme des carrés construits sur BC ei sur DE équivaut à deux fois la somme des carrés construits sur les côtés AB et AC.

12. Si deux pdygoness^hlables et intérieurs l'un à l'autre ont leurs côtés homologues parallèltt, tout polygone à la fois inscrit dans Tun et circonscrit à l'autre a une aire moyenne proportionnelle entre les aires de

ces deux polyi^ones.

13. Si, sur l'hypoténuse BC d'un triangle rectangle isocèle ABC comme diamètre, on décrit un demi-cercle BDAEC et si, du point A comme centre avec AB pour rayon, on décrit l'arc BFC, démontrer que le segment BFC équivaut à la somme des segments BDA, CEA.

iA. Des demi-cercles OKDA, OFDB, étant décrits sur les rayons OA, OB, d'un quadrant OACB, démontrer: 1° que les trois points A, B, D,sont en ligne droite; 2° que les aires ACBD, OKDF, sont équivalentes; 3° que les aires OFDA, OEDB, équivalent chacune au quart du carré construit sur le rayon OÂ.