LIVRE V. — LE PLAN
entière : c'est ce dernier cas qui a lieu ici, puisque la droite CD a déjà un point G commun avec le plan P.
^'20. Le lieu des points de l espdce éqnidistanls des extrémités d'une droite XY est le plan élevé perpendieuldirement sur le milieu de cette droite [Ji^. 200). En elïel, dans un plan quelconque XVB passant par XY, le lieu des points équidistants des extrémités de celle droite est la perpendiculaire AB élevée dans ce pian sur le milieu A de XY;^ or, on vient de voir que le lieu des diverses perpendiculaires élevées snrXY par le point A est le plan .mené par ce point perpendiculairement à XY.
•THÉORÈME
321. l ne droite AB est perpendiculaire à un plan P, lorsqu'elle est perpendiculaire à deux droites CD et CE de ce plan non parallèles entre elles (^ig-. 202).
En eïTet» le plan conduit par le point C perpendiculairement à AB contient les deux droijLes CD et CE (319), qui sont des perpendiculaires à AB menées par le point C; ce plan coTricide donc avec le plan V, qui par suite est perpendiculaire à AB.
Fig. 303. Fig. ao3.
COROLLAlllF.
322. Si du pied \\ d'une perpendiculaire AB à un plan V on mène la perpendiculaire BK sur une droite quelconque CD de ce plan, la droite AE qui joint le point E à un point quelconque de AB sera perpendiculaire sur OU (Jig, 2o3).
En effet, la droite Cl) étant perpendiculaire à par construction, et à AB puisque AB est perpendiculaire au plan V, doit être perpendiculaire au plan ABE (321), et par suite à la droite AE de ce plan.
Cette proposition est connue sous le nom de théorème des | trois perpendiculaires.
ao8 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
De ce que l'angl e BEC était droit (Jig, 2o3 ), nous avons conclu que l'angle AEG Tétait aussi. Inversement» si l'on prenait pour hypothèse que l'angle AEC est droit, on en conclurait qu'il en est de même de l'angle BEC; car CD étant alors perpendiculaire à ÀB et à âE le serait au plan ABE» et par suite à BE.
On peut donner du théorème des trois perpendiculaires et de sa réciproque l'énoncé suivant» qui est beaucoup plus commode dans les applications :
La projeciian BEC d'un angle droit AEC sur un plan passant par l'un de ses côtés est un angle droit. Inversement, un angle WLi] est droit s'il se projette suivant un angle droit BEC sur un plan renfermant un de ses côtés.
En lin, en ;iyanl égard à la définilion du n" 300, et remarquant que les projections d'une nième droiie sur deux plans parallèles sont parallèles (301), on obtient celle proposition plus générale :
Lorsque deux droites de l'espace sont perpen diculaires en tre I elles, leurs projections sur. un plan parallèle à l'une d'elles sont aussi perpendiculaires entre elles*
THÉORÈME
d23. Si d'un point A pris hors d'un plan P {Jig. 204), on mène à ce plan la perpendiculaire AB et diverses obliques AC, AD, AE:
1° Deux obliques \Cet kD,dont les pieds C et D s'écartent également du pied B de la perpendieulaire, sont égales ;
2° Des deux obliques kC et AE, l'oblique kV^, qui s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire, est la plus longue,
. Eiieffetf
V* Les deux triangles rectangles ABC et ABD étant égaux comme ayant les deux côtés de l'angle droit respectivement égaux, leurs hypoténuses AC et AD sont égales.
a* En prenant BD = BC, on a, en vertu de l'alinéa précé-, dent, AC = AD, et par la Géométrie plane (40) AE>AD; donc AE est plus grand que AC.
324. Les réciproques de ces propositions sont vraies (39). li en résulte que le lieu des points d'un plan P situés à égale distance d'un point donné A est une circonférence ayant pour
tIVBE V. — LE PLAN. 209
centre la projection B de ce point sur le plan [ff^. 204 ). De là, un moyen pralique pour abaisser une perpendiculaire sur un plan P par un point extérieur A : on fixe au point A l'une des extrémités d'un ûl dont l'autre extrémité est armée d'un ' crayon, on marque trois points sur le plan en tenant le fil tendu, on cherche le centre du cercle qui passerait par ces trois points (153), et Ton a le pied de la perpendiculaire demandée.
Fig. M>3. FIg. 304* Fig. 3o5.
THÉORÉ!«E.
325. Lorsqu'une droite AH est oblique à un plan P, l'angle aigu BA6 que cette droite fait avec sa projection sur ce plan, est moindre que l 'angle BAC qu'elle forme avec toute autre droite AG passant par son pied dans le pian [fig» 2o5).
En effet, h étant la projection d'un point quelconque B de la droite AB, prenons AC = A et menons BG. Les deux triangles BAfr, BAG, ont deux côtés égaux; mais le troisième c6té B6 du premier étant moindre que le troisième côté BG du second, puisque la perpendiculaire est plus courte que l'oblique, il faut (32 ) que l'angle BA6 soit moindre que l'angle BAG.
SCOLIE
326. En faisant parcourir au point G le cercle décrit dans le plan P, du point A comme centre avec kb pour rayon, on voit que l'oblique BG croît d'une manière continue depuis le point b
^ jusqu'au point 6', puis décroît en reprenant successivement les mêmes valeurs depuis 6' jusqu'en b. Par suite, l'angle BAG, minimum lorsque le point G est en b, croît jusqu'à ce que le point G soit en b' : il est alors maximum ; puis il décroît en reprenant successivement les mêmes valeurs depuis 6^ jusqu'en 6.
327. On appelle angle d'une droite et d'un plan l'angle aigu que cette droite (orme avec sa projection sur ce plan.
210 «tOHÉTBIl DjàHS l'iBPâCB.
On voit aisément que l'angle d'une droite D et d'un plan P
est égal à l'angle d'une droite quelconque D' parallèle à D et d'un plan quelconque V parallèle à P.
THÉORÈME
328. Étant données deux droites ÂB CD non situées dans le même plan : i7 existe une droite, et une seule, qui les rencontre l*une et Vautre à angle droit f 2,* cette perpendicu^- Uàre commune est la plus courte distance des deux droites
[fig. 206).
Fig.3o6.
En effet :
i<> Par un point quelconque A de AB, menons la parallèle A£ à CD; le plan BAE, que nous désignerons par P, sera (290) parallèle à CD; par suite (316) nous aurons la projection de CD sur ce plan P en menant une parallèle de à la droite DC par la projection d d*un point quelconque D de cette droite. Cela posé, pour qu'une droite rencontre à la fois AB et CD à angle droit, il fout et il sufBt qu'elle soit perpendiculaire au plan P en un point de AB, et qu'elle ait son pied sur cd, lieu des pieds des perpendiculaires au plan P menées par les divers points de (3>. Or, la perpendiculaire au plan P élevée par le point c commun à AB et remplit seule ces cçndltions. Il existe donc une droite Hc, et une seule, qui rencontre à angle droit les deux droites données AB et CD.
a» Celte perpendiculaire commune C<? est moindre que toute autre droite BD joignant un point de AB à un point de CD. Car, J)d étant la projetante du point D, on a évidemment Cc = D</, etDÉ^<DB.
329. Souvent, dans la pratique, on n'a besoin que de la longueur de la plus courte distance; il suffit alors de mener par l'une AB des deux droites un plan P parallèle à l'autre CD, et de prendre la distance d'un point quelconque de CD au plan P.
UVBB Y. ^ LB FIAIT. 21 1
EXERaCES.
1. Mener dans un plan donné, et par un point de ce plan,, une droite perpendiculain à une droite donnée d'une manière queloonciue dans l'espace.
2. Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu'elle ^ soit également inclinée sur trois droites passant par son pied dans ce plan.
3. Étant donnés un plan P et deux points A cl B situés d'un môme côté j de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la somme de ses distances aux points A et B soit minimum.
4. Étant donnés un plan P et deux points A et B situés de part et d'autre de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la différence de * ses distances aux points A et B soit maximum.
5. Étant donnés une droite D et deux points A et B situés comme on | voudra dans 1 espace, trouver le point de la droite D qui est équidislant des points A et B.
6. Étant donnés un triangle ABC et un plan quelconque P, trouver le point du plan P qui est équidistant des trois sommets du triangle ABC. '
7. Trouver le lieu des points d'un plan tels, que la différence des carrés # de leurs distances à deux points donnés hors de ce plan soit constante.
8. Trouver le lieu des points d'un plan d'où l'on voit sous un angle droit une droite située hors de ce plan.
9. Trouver le lieu des points de l'espace dont la diflérence des carrés ^ des distances à deux points donnés est constante.
10. Quel est le lieu des points dont le rapport des distances à deux plans parallèles est constant?
11. Étant donné un angle AOB, trouver le lieu des points H de l'es* pace tels, que, si on les joint au sommet 0 de l'angle, la somme des projections de la droite OM sur les deux côtés de l'angle soit constante.
12. Le plan mené parallèlement à deux droites non situées dans un même plan, par le milieu de leur plus courte dislance, passe par les milieux de toutes les droites qui joignent . un point de la première droite i un point de la seconde.
18. Lorsqu'une droite est parallèle à un plan, la plus courte distance de cette droite i toutes les droites du plan qui ne lui sont pas parallèles est constante.
14. Trouver le lieu décrit par le milieu d'une droite de longueur constante, dont les extrémités s'appuient sur deux droites rectangulaires et non situées dans un même plan.
\H2 GÉOMÉTRU DANS L'ESFACB.
Pbog&aiiiib OFFiau. : Angles dièdres, — Plans perpendi--
culaires entre eux»
DÉFINITIONS
330. Lorsque deux plans P et Q se renconireni {fig, 207 ) ei sont terminés à leur iniersectîon commune BË, on dit qu'ils forment un angle dièdre. Les deux plans P et Q sont les^àces et la droite BE est Varéte de cet angle.
Pour désigner un angle dièdre isolé, il suffit d'indiquer son arête; ainsi l'on dit {Jig, 207) l'angle dièdre 3E. Mais lorsque plusieurs angles dièdres ont la même arête, pour désigner celui d'entre eux que Ton considère, il faut employer quatre lettres, savoir : une lettre pour chaque face et deux pour l'arête ; on place d'ailleurs les deux lettres relatives à l'arête entre les deux
Fig. 307.
Fig. 908.
autres. Ainsi, dans Xajig. 208, on distingue les trois dièdres CABD, BABË, CABE.
Deux angles, tels que CABD, DABE {fig, 208), qui ont la même arêie AB, une face commune ABD, et les deux autres faces situées de part et d'autre de Ja face commune, sont dits adjacents,
331. Deux angles dièdres sont égaux lorsqu'on peut les faire coïncider. Pour ajouter deux angles dièdres, on transporte le second à la suiie du premier de manière à former deux angles
adjaccnis, tels que CABD, DABE [fig. 208); l'angle CABE des deux faces non communes ABC, ABE, est la somme des deux angles dièdres proposés.
332. On acquiert une idée nette de la grandeur de l'angle dièdre, en supposant que l'une des faces P d'abord appliquée
UTHB T« — LB PLAN. ai3
sur r autre face Q (Jîg. 210) tourne autour de la droite AB; dans cette rotation, le plan mobile P fait avec le plan fixe Q
un angle dièdre qui croit d'une manière continue.
Un plan Pj est dit perpendiculaire sur un plan QQ' {Jîg. 110), lorsque les deux angles adjacents Pi ABQ, PiABQ', qu'il forme avec celui-ci, sont éi^aux. Un plan P, qui forme avec QQ' des angles adjacents PABQ» PABQ% inégaux, est dit oblique sur le plan QQ'.
On nomme angle dièdre droit tout dièdre PiABQ dont une face est perpendiculaire sur l'autre.
333. Deux angles dièdres sont dits opposés par l'ar/'le lorsque les faces de l'un sont les prolongements des faces de l'autre. Deux plans indéiinis PP', QQ' {Jig. 211), forment en se coupant quatre angles dièdres qui sont deux à deux opposés par l'arête AB.
On nomme plan bissecteur d'un angle dièdre le plan qui, mené par Tarête, divise cet angle dièdre en deux autres égaux entre eux.
33&. On appelle an-^le plan correspondant à un angle dièdre l'angle rectiligne que l'on forme en élevant, par un même point de l'arête, une perpendiculaire à cette arête dans chacune des faces. Ainsi» B étant un point de l'arête BË de l'angle dièdre PEBQ {/îg. 209), si Ton élève dans le plan P la perpendiculaire BA sur l'arête BE, et dans le plan Q la perpendiculaire BC sur l'arête BE, l'angle ABC sera l'angle plan du dièdre considéré.
Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il faut que la grandeur de l'angle plan correspondant à un angle dièdre soit la même, en quelque point de l'arête qu'on forme
3i4 gêomStrii dars l'sspàgb.
cet angle plan. Or, soient les angles plans ABC, DEF, formés en deux points  et E de Tarêle de l'angle dièdre PBEQ [fi g, 209) : les côtés BC et EF sont parallèles et de même sens, comme étant dans un même plan Q perpendiculaires à la môme droite BE; il en est de mùaie de BA et de EU; les angles ABC, DEF, sont donc égaux (297).
11 est à remarquer que le plan ABC est perpendiculaire a l'arête BE (321); réciproquement, tout plan perpendiculaire à l'ariHc coupe les faces suivant des perpendiculaires à cette arête, et par suite l'angle dièdre suivant son angle plan.
THÉORÈME
335. Par une droite A6, $Uuée dans un plan QQ', on peut toujours élever un plan P3 perpendiculaire sur ce plan, et on ne peut en élever qu'un {fig, 210).
COBOLLÀIRSS.
