Tous les angles dièdres droits sont égaux

La démonstration de ce théorème et de son corollaire est tout à fait semblable à celle qui a été donnée aux n''* 14 et 15 de la Géométrie plane.

Un angle dièdre est dit nii^u ou obtus suivant qu'il est inférieur ou supérieur à l'angle dièdre droit. Deux angles dièdres sont ( omplémentaires lorsque leur somme est égale à un angle dièdre droit.

837. Tout plan P qui en rencontre un autre Q(yfait avec celui-ci deux angles dièdres adjacents PABQ, PABQ', dont la somme est égale à deux dièdres droits {fi g, 210). Réciproquement, si deux angles dièdres adjacentsVABQ, PABQ', sont supplémentaires, c'est-^i-dire ont une somme égale à deux angles dièdres droits, leurs faces non communes Q et Q' sont dans le prolongement l'une de l'autre» (Voir les n**» 17, 18 et 19. )

338. Lorsque deux plans PP', QQ', se coupent, les angles dièdres opposés par l'arête AB sont égaux {fig, an). {Foir le n«22.)

THÉORÈME

339. Le rapport de deux angles dièdres est égal au rapport de leurs angles plans.

UTRB T. U PLâH. 9l5

Il suffit (125) de prouver :

1° Que si deux angles dièdres AIOB, A'I'O'B', sont égaux, leurs angles plans AOB, A'O'B', sont égaux;

1° Que si un angle dièdre AIOC est la somme de deux autres angles dièdres ATCB', BIOC, son angle plan AOC est la somme des angles plans A'O'B', BOC, qui correspondent aux deux autres dièdres (Jig* 2i3). '

En effet:

1° ïransporlons l'angle dièdre ATO'B', de manière que l'angle droit l'O'A' s'applique sur l'angle droit lOA; puisque les dièdres AIOB, k'VO'h', sont égaux, le plan l'O'B' tombera sur le plan lOB, et O'B' coïncidera avec la perpendiculaire à 10 élevée dans le plan lOB par le point 0, c'est-à-dire avec OB; donc les angles plans AOB, A'O'B', sont égaux.

Fig. 2ia. Fig. ai3.

1° Puisque l'angle plan A'O'B' est égal à AOB, pour prouver que l'angle plan AOC est égal à la somme de A'O'B' et de BOC, il suffit de faire voir que les trois droites OC, OB, OA, sont dans un même plan; or cela résuite du n*" 319.

COROLLAIU.

340. Par suite, tout angle dièdre ala même mesure que l'angle

plan correspondant, pourvu que Von prenne pour unité d'angle dièdre le dièdre auquel correspond l'angle plan choisi pour unité d'angle plan; ou, d'une manière inr orr* rte, mais plus rapide, tout angle dièdre a pour mesure son angle plan, oir, pour plus de détails, le n° 126. )

• SCOLUS.

L'angle dièdre droit a pour angle plan un angle droit, et inversement, un angle dièdre est droit si son angle plan est droit. En effet, soient PABQ, PABQ' {/ig. 212), deux angles

2l6 GÉOIÉTIIIB DANS l'bSPACB.

dièdres adjacents formés par la rencontre du plan P et du plan QQ'; par un point 0 de Tarête AB, menons un plan per^ pendiculaire à cette arête; ce plan déterminera, par ses intersections avec les plans P et QQ', deux angles reciilignes adjacents EOC, EOI), qui seront les angles plans des deux dièdres proposés (334). Or (340), quand les deux dièdres sont égaux, les deux angles pians sont égaux, et réciproquement.

3&2. La proportionnalité des angles dièdres et des angles ^ ^ plans correspondants permet de conclure un grand nombre de f ^ propriétés des angles dièdres, des propriétés analogues des angles rectilignes démontrées en Géométrie plane. Nous citerons par exemple les propositions suivantes, qui sont souvent utiles :

Le plan bissecteur d'un angle dièdre est le lieu des points qui, situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidistants de ses faces; etc. {Foir les n"' 50, 51, 52. )

Deux angles dièdres qui ont leurs faces parallèles deux à deux sont égaux ou supplémentaires, {Foir le n** 69.}

THÈORÈM£.

343. Lorsque deux plans P Q sont perpendiculaires l'un à l'autre^ toute droite AB, menée dans le premier plan P per* pendiculairement à l'intersection commune CD, est perpendi-^ culaire à l'autre ptan Q {fig. 2.1 /^),

En effet, les deux plans P et Q étant perpendiculaires l'un à l'autre, l'angle plan correspondant à l'angle dièdre PCDQ doit être droit; or on forme cet angle pian ABË en élevant, dans le

Fig. 21 4. Fig. 3i5. Fiff. 9i6.

plan Q et par le point fi, la perpendiculaire BE à CD; donc la droite AB est perpendiculaire à BE, et comme elle l'est aussi par hypothèse à CD, elle est perpendiculaire au plan Q.

LITRB T. — LE PLAN. 217

TllÉORËMË.

344* Si une droite ÀB est perpendiculaire à un pian Q» tout plan P passant par cette droite ou parallèle à cette droite est perpendieulaîre au plan Q.

En effet :

i** Si le plan P passe par AB {Jig. 7.14 ), menons dans le plan Q et par le point B la perpendiculaire B£ à Tintersection CD des deux plans P et Q. L'angle ABE sera droit, puisque la droite AB est par hypothèse perpendiculaire au plan Q; d'ailleurs cet angle ABE est Tangle plan du dièdre PGBQ; donc ce dièdre est droit, et le plan P est perpendiculaire au plan Q.

a* Si le plan P est parallèle à AB {Jig, 2i5)) menons par un point quelconque E de ce plan la parallèle EF à AB; cette droite EF sera à la fois perpendiculaire au plan Q (312) et située dans le plan P (295). Donc le plan P, passant par une droite EF per* pendiculaire au plan sera perpendiculaire à ce plan (1°).

345. lUciPftOQUBiixirT, 5/ deux plans Q^etV sont perpendicu^ laires entre eux, tonte droite AB perpendiculaire au premier plan Q est située dans Vautre pktn P ou lui est parallèle.

En effet, si la droite AB n'avait qu'un seul point commun avec le pian P, en menant de ce point une perpendiculaire sur l'iriiorseciion CD des plans P et 0 [Jig- 2i5), cette perpendiculaire serait perpendiculaire au plan Q (3^k3), et l'on pourrait mener d'un même point deux perpendiculaires au plan Q; ce qui est impossible (313). La droite AB, ne pouvant couper le pian est donc parallèle à ce plan ou située dans ce plan.

GOROLLAnS.

34G. Par une droite AB oblique à un plan P {Jig, 216), on *peut abaisser un plan perpendiculaire sur ce plan P, et on ne peut en abaisser qu'un.

En effet, le plan BAa, déterminé par la droite AB et par la perpendiculaire Art au plan P abaissée d'un point quelconque de AB, est perpendiculaire (3V4) au plan P. C'est le seul, car tout plan conduit par AB porpendiculaireœenl au plan P doit (345) couienir la perpendiculaire Aa.

2i8 G£o:»iÉrRiE DANS l'espacb.

31^7. Si deux plans P e£ Q sont perpendiculaires à un sième R, leur intersection AB est perpendiculaire à ce troisième plan {Jig. 217).

Fijj. 317.

Car si, par un* point quelconque de TintersecUon AB, on mène la perpendiculaire au plan R, cette perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan P et dans le plan Q (345); elle ne diffère donc pas de AB.

Corollaires.

348. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection*

349. Si les plans P et Q de la fig, 217 forment un angle dièdre droit, les trois plans P, Q, R, séh>pt perpendiculaires entre eux; l'intersection de deux quelconques de ces plans sera perpendiculaire au troisième (347), et les trois intersec* tlons seront perpendiculaires entre elles.

EXERaCES.

1. Si, par un point 0 de l'e-^pace, on mène deux parallèles OAetOB à nn plan donné P, puis par le même point 0 deux plans respectivement perpendiculaires à OA et i\ OB, rinter>erlion de ces plans est perpendiculaire au pian P (cette proposition est utile dans les applications).

2. Si l'on projette un môme point de l'espace sur deux plans qui se coupent, les perpendiculaires abaissées des deux [)rojections sur l'intersection des deux plans la rencontrent au in^nio point.— RéciproipuMiieiit, si cette condition est remplie pour deux [»oints des deux plans, ces points sont les projections d'un même point de l'espace.

3. Toute ligne qui se projette sur deux jikins qui se coupent suivant une ligne droite est elle-même une.lii^uu droite.

Â. Quel est le lieu des points de l'espace équidistants de deux dioiles

qui se coupent?

5. Les perpendiculaires abaissées d'un même point sur des plans dont les intersections sont paraUèles, sont dans un seul et même plan.

UTBI T« — LE PLAN. 219

Piogbâhhb OFnciBL : Notions sur les angles trièdres

et polyèdres

350. Lorsque plusieurs plans ASB, 6SG, CSD,. . . {fi^, 218) se coupent successivement suivant des droites SB, SC, SD,. • .

qui concourent en un même point S, on dit qu'ils forment un angle polyèdre. Le point S est le sommet, les droites SA, SB, se,. . . sont les arêtes, et les angles ASB, BSC, CSD,. . . sont les faces de l'angle polyèdre.

On désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie des lettres relatives aux diverses arêtes. Ainsi, pour indiquer l'angle polyèdre de la Jig. 218, on dira l'angle SABCDE, ou plus simplement l'angle S, car quand un angle polyèdre est isolé, la lettre du sommet sufût.

Ilg. ai8. Fi0. 319. Fiff. 330.

n iaut au moins trois plans pour former un angle polyèdre. L'angle formé par trois plans prend le nom d'angle trièdre* Dans un angle trièdreSABG {fig- ? i9}, on distingue six éléments, savoir : les trois faces ASB, BSG, CSÂ, et les trois dièdres SA, SB, SC.

351. On dit qu'un angle polyèdre est convexe, lorsqu'il est situé tout entier d'un même côte par rapport au plan indéfini de chacune de ses faces (Jig. 218); il esx concave dans le cas contraire {fig, aao). Tout angiâ trièdre est convexe.

352. Si l'on prolonge au delà du sonnmet S toutes les arêtes d'un angle polyèdre SABGD£ ( /î^. 221], on ol)ticnt un autre

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

angle polyèdre SA'BX'JD'F qui est dit le symétrique du premier.

Deux angles polyèdres symétriques SABGD£, SA'B'C'D'£', ont tous leurs éléments respectivement égaux : les faces ASB ,

et A'SB', BSC ei B'SC',... sont égales deux à deux comme angles plans opposés par le sommet, et les angles dièdres SA et SA', SB et SB', ... , sont égaux comme opposés par l'arête. Mais la disposition des parties égales n'est pas la même dans les deux angles polyèdres. En effet, un observateur couché sur Tarète SA, ayant la tête en S, les pieds en A, et regardant l'intérieur de l'angle SABCDE, verrait les arêtes se présenter de droite à gauche dans Tordre SB, SC, SD, SE; tandis qu'un observateur placé de la même manière dans l'autre angle SA'BX'D'£% c'est-à-dire couché sur SA', ayant la téte^en S, les pieds en A' et regardant l'intérieur de l'angle, verrait les arêtes se succéder de droite à gauche dans Tordre inverse SEf, SD',SC',SB'.

A cause de cette différence de disposition, deux angles p<H lyèdres symétriques, bien qu'égaux dans toutes leurs parties, ne sont pas superposables.

THÉORÈME

353. Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est moindre que la somme de toutes les autres,

11 n'y a lieu à démontrer celle proposition que lorsque la face considérée est plus grande que chacune des autres.

Cela posé, considérons d'ahord un angle Irièdre SABC >'22). Dans la face ASB que nous supposons plus grande que chacune des deux autres, formons un angle ASD égal à

Fig. 331.