LIVRE V. — LE PLAN

ASC, et prenons, à partir de S, sur 1rs droites SD etSC, des ' longueurs SD et SG égales entre elles. Par le point D, menons une droite ÂDB qui rencontre les arêtes SA et SB en A et B; enfin» joignons le poltot G aux points A et B. L'égalité des deux triangles ASD, ASC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux» donne AD = AG; et'comme on a

AB ou AD + BB<AG + CB»

on voit que le segment DB est moindre que CH. Dès lors, les deux triangles CSB, DSB, ayant SB commun, SC = SD, et DB <CB, il laui (32) que l'angle DSB soit moindre que CSB. Donc, en ajoutant d'une part l'angle ASD et de l'autre son égal AâC> on a

ASD + DSB ou ASB<ASC + GSB.

Pour étendre le théorème au cas d'un angle polyèdre quel* conque, il sufiit de décomposer cet angle en trièdres en menant par l'une des arêtes SA et par les arêtes opposées SC, SD, des plans diagonaux ASG, ASD (Jig» asi); la démonstration est évidente.

Fig. 933. Fig. 333.

THÉORËAIE.

85&>. Doju tout angle polyèdre convexe, la somme des faces est moindre que quatre angles droits (fig, 223).

En effet, soit ABCDl'. un polygone convexe obtenu en coupant l'angle polyèdre par un plan qui rencontre toutes les arêtes. £n ajoutant les inégalités

EAB<EAS + BAS, ABC < ABS -h CBS, BCJ)<BCS-+-DCS,

aaa géométrik dans l'espace.

que fouraissenl les trièdres A, B, C,. . . (353), on voit que la somme des angles intérieurs du polygone ABCDE est moindre que la somme des angles à la base des triangles SAB, SBC» SCD,. . qui' ont S pour sommet. Or, la somme des angles tant intérieurs qu'extérieurs du polygone convexe ABCDE est égale à la somme de tous les angles des triangles dont S est le sommet commun. Donc, la somme des angles en S de ces triangles, c'est»à-dire la somme des faces de l'angle polyèdre, est moindre que la somme des angles extérieurs du polygone, c'est-à-dire (81 ) moindre que quatre angles droits.

EXERaCES.

1. Dans tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une môme droite. — Quel est le lieu des i)oints équidistants des trois faces d'un angle trièdre indéfiniment prolongées?.

2. Dans tout angle trièdre, les plans menés perpendiculairement aux faces, par les bissectrices de ces faces, se coupent suivant une même droite. — Quel est le lieu géométrique des points équidistanls des trois arêtes d'un angle trièdre indéfiniment proluni:ées?

3. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes perpendiculairement aux faces opposées se coupent suivant une même droite.

4. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et les InsseO' trices des faces opposées se coupent suivant une même droite.

SUR LB GnfQCtklIB LITRE.

4. Si une droite est également inclinée sur les deux faces d'un angle dièdre, ses traces sur les doux faces sont également distantes de i'arète de l'angle dièdre. — Réci[iro(|ue.

2. Quel est le lieu des points équidistants de deux plans qui se coupent?

3. Q\aq\ est le lieu des points équidistants de deux plans donnés et de deux points ou de deux droites données situées dans un même plan?

A. Montrer que si, par un même point de l'arête d'un angle dièdre, on

mène dans chaque face une droite faisant un angle donné a avec cette arête, l'angle rccliligne ainsi obtenu no varie pas proportionnellement à l'angle dièdre, à moins que l'angle a ne soit droit.