LIVRE V. — LE PLAN

8. Si par l'une des diagonales d'un parallélogramme on mène un plan quelconque, les perpendiculaires, abaissées sur ce plan des extrémités de l'autre diagonale, sont égales.

6. Un angle AOB tourne dans Tespace autour d'une droite TU parallèle à sa bissectrice; démontrer que, si À' 0' B' est une seconde position d'ailleurs quelconque de cet angle: i° les droites OA et O'A' ne sonf pns dans un môme plan, non plus que les droites OB et 0' B'; OA et 0' B' sont dans un môme plan, et il en est de même de O'A' et de OB: 3"* trois quelconques des droites OA, OB, O'A', O'B', ne sont pas parallèles à un même plan.

7. Soient une droite quelconque AB et un plan P. Si AB est divisée au point G dans le rapport ^) et si des points A, B, G» on abaisse sor le

plan P les perpendiculaires AiV, BB', CC, on a

{m + n) QC' = ff .AA'+ m.BB'.

8. Si la somme des perpendiculaires abaissées d'un point A sur deux plans donnés est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d'un autre point B sur les mêmes plans, cette somme reste la môme pour tout antre point G de la droite AB.— Étendre ce théorème au cas d'un nombre quelconque de plans.

9. Soient trois points A, B, C, et deux plans P et Q. Si la somme des deux perpendiculaires abaissées de chacun de ces points sur les deux plans est la même pour les trois points , cette somme restera encore la même pour tout antre point du plan ABC. — Étendre ce théorème au cas d*nn nombre quelconque de plans.

10. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à deux plans donnés soit égale à une droite donnée.

\\. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à trois pians donnés soit égale à une droite donnée? — Étendre ce problème au cas d'un nombre quelconque de plans.

12. Trouver sur une droite donnée un point tel, que la somme de ses f distances à deux plans qui se coupent Mit un minimum.

13. Gouper un angle polyèdre à quatre faces, de manière que la section , aât un parallélogramme.

44. Si , dans le plan de chaque face d'un angle trièdre et par son sommet on mène une perpendiculaire à l'arête opposée, les trois perpendiculaires obtenues sont dans un même plan.

45. Tout plan perpendiculaire à l'une des arêtes d'un angle trièdre rectangle coupe cet angle trièdre suivant un triangle rectangle.

224 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

16. A, B, C, étant trois points pris à volonté sur Ips arêtes d'un ;)n;2;ie trîèdre Iri-rcctangle et 0 la projection du sommet S de cet unule trier! re sur le plan x\BC, démontrer que le triangle ASB est moyen proporlionnel entre les triangles AB(- et OAB.

17. Étant donné le triangle suivant lequel la feuille de dessin est rencontrée par un angle triedre tri-roctanglc, trouver, par des constructions grapliicjues exécutées sur le plan de cette feuille, les inclinaisons des trois arêtes do l'angle trièdre sur ce plan.

18. Couper un angle triedre tri-rectangle par un plan tel, que la section soit un triangle égal à un triangle donné.

LIVRB Tl. — LB8 POLtftDISS