LIVRE VI. — LES POLYÈDRES

lèle au plan de la section droite. Les inierseclions de ce plan avec les arêtes latérales du prisme prolongées, détermineront un polygone A'B'C'D'E' égal (371) au polygone F'G'iri'k'. La figure A'B'G'D'FFG'U rK' ou A'E' sera donc ua.{)risine

fiff, 939.

droit ayant pour base la section droite du prisme oblique AH, et pour hauteur son arête latérale BG; car on a B'G' = BG, puisque, par construction, BB' = GG'.

Ceci posé, le volume compris entre la base inférieure du prisme oblique AH et la base supérieure du prisme droit A' H' est commun aux deux prismes. Pour démontrer l'équivalence de ces deux prismes, il suflil donc de démontrer l'égalité des deux polyèdres ou prismes droits tronqués (376) A' B' CD' £' ABCDE ou A'C etFG'HTK'FGHlK ou F H. Cette égalité résulte immcdiatemeni de la remarque faite au n° 378; car les deux bases A'B'G'D'£', F'G'HTK', sont égales, ainsi que les arêtes correspondantes A'A etF'F, B'B et G'Q, etc. A' A, par exemple, est l'arête latérale ou la hauteur du prisme droit ÂfW, diminuée de AF', et FF estTarête latérale du prisme oblique AH» diminuée de la même quantité.

THÉORÈBŒ.

380. Le plan mené par deux arêtes latérales opposées d'un parallôlipipède le partage en deux prismes triangulaires équivalents.

Soit {f g. 233) ]e parallélipipède quelconque AG. Le plan AEGG, mené par les arêtes opposées AE et CG, partage ce parallélipipède en deux prismes triangulaires ABCEFG, ACD£GH, dont il s'agit de démontrer l'équivalence.

234 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Menons la section droite du parallélipipèdc AG. Celle section OKLM est un parallélogramme (365); et les deux triangles égaux KLM, KMO, suivant lesquels la diagonale KM la divise, sont respectivement les sections droites des prismes ABC£FG, ACD£GU.

Fig. a33.

Or, le prisme triangulaire ABCEFG est équivalent au prisme droit ayant pour base KLM et pour hauteur AE ( 379 ) ; de même, le prisme triangulaire ACDEGH est équivalent au prisme droit ayant pour base KMO el pour hauteur AE. Les deux prismes droits énoncés éiuiii égaux (377), les deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDILGH, sont équivalents, et chacun d'eux est la moilié du parallélipipède AG.

381. Le rapport de deux parallélipipèdes rectangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs; en d'autres termes, le volume d'un parallélipipède rectangle de base constante est proportionnel à sa hauteur.

Il suffit ( 123) de prouver :

1° Que, 6/ deux parallclipipèdes rectangles de même base ont des hauteurs égales, ils sont cqaux;

2° Que, si trois parallélipipèdes rectangles de même base sont tels, que la hauteur du premier soit égale à la somme des hauteurs des deux autres, le premier parallélipipède est égal à la somme des deux autres*

En effet :

• I** Soient [fig. 284) les' deux parallélipipèdes rectangles AG et A'G% dont les bases ABCD, A'B'CD', sont égales ainsi que les hauteurs AE et A'E'; ces deux parallélipipèdes rectangles seront égaux comme prismes droits a^ant môme base etméme hauteur (377 j.