La similitude des triangles SÂB et Sab donne

ou, d'après ce qui P''^c^^®> ^ = |^ '

La similitude des polygones ABCDE et abede donne à son tour

abcde ab • * s. j. abcde sh

Donc, dans une pyramide^ les sections parallèles à la base et la base elle-même sont proportionnelles aux carrés de leurs distances au sommet de la pyramide,

SOOUB.

399. Si Ton coupe une pyramide régulière i>ar un plan parallèle à la base, la section abcde, étant semblable à la base ABCDE, est aussi un polygone régulier. Comme les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales, il en est de même des arêtes latérales du tronc de pyramide régulier obtenu. Les faces latérales d'un tronc de pyramide régulier sont donc des trapèzes isocèles tous égaux entre eux. La hauteur d'un de ces trapèzes est \ apothème du tronc de pyramide.

THÉORÈME

4-00. Lorsque deux pyramides ont des hauteurs égales^ les sections faites dans ces pyramides parallèlement à leurs bases et à la même distance de leurs sommets sont proportionnelles aux bases des deux pyramides.

Soient {fig. 241) les deux pyramides SABCD, S'A'B'C, dont les hauteurs SH et S' H' sont égales. Prenons SA = S'A' et, par les points A et h', menons la section abcd parallèle à la base ABCD et la section ifb^c' parallèle à la base A'B'C. Nous aurons (398)

abcd Sh a'h'c' S^'

ABCD ""en'' A B C

SH ^ ^ STH'

^44 GÉOMÊTUB DAHS L'BSPACB.

c'est-à-dire, en vertu de l'ii^ pothèse et de la construction,

abcd a' h' c'

SCOLIB.

401. Si les bases des deux pyramides sont équivalentes, les sections obtenues sont équivalentes»

THÉORÈME

402. L'aire latérale d'une py ramide régulière a pour mesure la moitié du produit du périmètre de sa base j)arsoii apO'tlième.

Soit {fig. ) la pyramide régulière SABCDE» Les triangles isocèles et égaux qui composent son aire latérale ayant res^ pectivement pour bases les côtés ÂB, BC, ...» EA, de la base de la pyramide, et pour hauteur son apothème SH (392), la

somme des aires de ces triangles, c'esl-à-dire l'aire demandée, a pour mesure la moitié du produit de la somme des côtés AB, BC, . . EA, par l'apothème SU, c'est-à-dire la moitié du produit du périmètre de la base de ia pyramide par son .apotlième.

ScOUBi

403. L'aire latérale d'un tronc de pyramide régulier a pour mesure le produit de la demi-somme des périmètres de ses deux bases par son apothème.

Soit {fig, le tronc de pyramide régulier ABCDEabcde, Les trapèzes isocèles et égaux qui composent son aire latérale ayant respectivement pour «bases les côtés AB et a6, BG et

UTRS VI. — LB8 POLYftD^BS.

be,.*.f £A et ea y des bases du tronc de pyramide, et pour hauteur son apothème HA (399), la somme des aires de ces trapèzes,, c'est^-dire l'aire demandée, aura pour mesure le produit de la demi-somme des côtés AB et ah, BG et 6c,. . ., EA et ea, par l'apothème HA, c'est-à-dire le produit de la demi-somme des périmètres des deux bases du tronc de py-ramide par son apothème.

EXBRCICXS.

\. Les plans menés perpendiculairement sur les milieux des arêtes d'un tétraèdre se rencontrent en un même poinL

S. Les plans bissecteurs des an§^ dièdres d'an tétraèdre se rencontrent en un méône point.

3. Les perpendiAulalres élevées sur chaque Ikee d'un tétraèdre par le centre du cerde circonscrit à la iàoe considérée, se rencontrent en un noème point.

4. Les droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre aux points d'intersection des médianes des faces opposées se rencontrent en un même point, situé au quart de chacune de ces droites à partir de la face correspondante.

5. Les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un \ tétraèdre se coupent mutuellement en parties égales.

6. Si l'on coupe un prisme ou une pyramide par un plan non parallèle

à la base, et si l'on prolonge les côtés de la section jusqu'à la rencontre des côtés correspondants de la base, les points d'intersection obtenus sont en ligne droite.

7. Étant données les fiioes d'un tétraèdre, trouver, en ne se servant que du compas, la longueur de la hauteur du tétraèdre et le pied de cette ' hauteur sur le plan de la base.

8. Le plan bissecteur de l'angle dièdre d'un tétraèdre partage l'arête opposée en deux segments proportionnels aux faces qui comprennent % l'angle dièdre. — Considérer le plan bissecteur de l'angle dièdre extérieur.

9. Si par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposées SA, BC, d'un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe l'aréte SB en F et l'arête AC eu G, la droite KG est divisée par la droite DE en deux parties égales.

GÉOMtTRlB DANS l'bSPACB.