Deux pyramides triangulaires de bases équivalentes et

de hauteurs égales, sont équivalentes.

Soient (Jig. 243 ) SABG et S'A' B' G' les deux pyramides proposées. Si leurs bases- ABC, A'B'C» sont placées sur un même plan, leurs sommets S et S^ seront & la même distance du plan commun des deux bases, puisque ces pyramides ont même hauteur.

Divisons l'arête SA en un certain nombre de parties égales aux points D, G, K, et par ces points menons des plans parallèles au plan commun des bases. Nous déterminerons ainsi dans la première pyramide les sections DEF, GHI, KLM, et dans la seconde pyramide les sections correspondantes D'E'F', G'Il r, K L' M'.

Comme les bases des deux pyramides sont équivalentes, les sections faites dans ces pyramides par un même plan parallèle au plan commun des bases sont équivalentes (401). La section D£F est équivalente à la section D'£'f % la section GHI à la section G'H'i'^ etc.

Construisons maintenant un prisme sur la section D£F comme base et sur la division DA comme arête. 11 suffit pour cela (357) de mener par les points E et F, jusqu'à la rencontre

LlfU — LB8 rOLTfcDRES.

des arêtes AB et ÀC, des parallèles £N et FO i DA ou SA., et de tracer la droite NO. En agissant de même pour les autres sections 6HI, KLM, et les autres divisions GD, KG, on inscrira dans la pyramide SABC un nombre de prismes égal à celui des sections primitivement obtenues, et tous ces prismes inscrits auront pour hauteur la distance constante de deux plans s,écants consécutifs.

En opérant d'une manière identique, on inscrit dans la seconde pyramide S'A'B'C les prismes D' E' F'A' N'O', G'H l'D'P'Q',..., qui sont en même nombre que ceux inscrits dans la pyramide SABC.

Les prismes de même rang dans les deux pyramides sont équivalents comme ayant des bases équivalentes et des iiauleurs égales (389). Le prisme (ilUDPQ, par exemple, est équivalent au prisme G'H'TD'P'Q', parce que les deux sections correspondantes QRi, G'H'T, sont équivalentes, et parce que les hauteurs de ces prismes représentent toutes deux la partie de la hauteur commune des pyramides données» si Ton a divisé Tarète SA en n parties égales.

Donc, la somme des prismes inscrits dans la pyramide SABG est équivalente à la somme des prismes inscrits dans la pyra* mide S'A'B'C Or, si Ton lait croître indéfiniment le nombre des divisions égales de l'arête SA, la somme des prismes in* scrits dans la pyramide SABC a pour limite le volume de cette pyramide. En efTet, les points K, R, P, N, sont en ligne droite, puisque les droites SK, LR, HP, EN, sont égales et parallèles, et la droite KN est parallèle à SB. De même, les points K, T, Q, 0, sont sur une droite KO parallèle à SC. Le plan KNO est donc parallèle à la face SBC, et le polyèdre KNOSBC est un ironc de pyramide à bases parallèles dont la hauteur, distance des deux plans KNO, SBC, est au plus égale à SK = AD. Or, la limite de AD, quand on fait croître indéfiniment le nombre des divisions égales de l'arête SA, est zéro. Donc la hauteur du tronc de pyramide KNOSBC tend vers zéro, et il en est de même, par conséquent, du volume de ce tronc. Mais ce volume est évidemment supérieur à la différence qui existe entre la pyramide SÀRG et la somme des prismes qui y sont • inscrits. Cette différence s'annule donc à la limite.

On prouverait de môme que la diCférence entre la pyramide

24B GÉOMÉTRIE DANS l'SSPACE.

S'A'B'C et la somme des prismes qui y sont iascrits a zéro pour limite.

Les deux sommes de prismes étant constamment équivalentes, leurs limites, c'est-à-dire les volumes des deux pyramides SABC, S'A'B'C, sont égaux.

THÉORÈME

405. Le volume d'une pyramide a pour mesure le lien du produit de ta base par sa hauteur,

Fig. 344. Fig. 345.

i** Soit ijig. 244) pyramide triangulaire EABC. Par les sommets A et C, menons les droites AD et CF^ parallèles à Taréte B£, jusqu'à leur rencontre D et F avec un plan mené par le sommet £ parallèment à la base ÂBG de la pyramide. Le polyèdre ABCDEF sera un prisme triangulaire ayant même base et même hauteur que la pyramide proposée.

En faisant passer un plan par les trois sommets D, E, G, on décompose le prisme triangulaire ABCDEF en trois pyramides triangulaires EABC» EDCA, EDCF. La première est la pyramide donnée. Les. deux autres sont équivalentes , car elles ont même hauteur et leurs bases sont équivalentes comme moitiés du parallélogranime ACFD (404). Or, si Ton prend la face DEF pour base de la pyramide EDCF, son sommet est le point C. Celle pyramide a donc même base et môme hauteur que le prisme ABCDEF; elle est donc équivalente à la pyramide EABC.

Les trois pyramides dont se compose le prisme ABCDEF étant équivalentes, chacune d'elles est le tiers de ce prisme. Or, le voluiue du prisme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur; le volume de la pyramide EABC a donc pour ^ mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

LITBB Yl. — LES POLTÈDIM. ^49

2" Soit {fig. 245) la pyramide polygonale SABCDE. On la décompose en pyramides triangulaires en faisant passer des plans par l'arête SA, et chacune des arêtes SC, SD. Ces pyramides triangulaires ont pour bases les triangles ABC, ACD, ADE, qui composent la base de la pyramide donnée, et leur hauteur commune est celle de cette pyramide. La somme de leurs mesures ou la mesure de la pyramide SABCDE sera donc égale au tiers du produit de sa base ABGD£ par sa hauteur SO.

Corollaires.

406. £n désignant par V, H, les trois nombres qui mesurent respectivement le volume d'une pyramide, sa base et sa hauteur, on a la formule générale

Donc toute pyramide est le tien du prisme de même beue et

de même hauteur. Deux pyramides quelconques de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalentes. Deux pyramides sont entre elles comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur. Deux py ramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases,

407. Quand un tétraèdre est régulier, son volume s'exprime en fonction de son arête a.

Un tétraèdre régulier est compris sous quatre triangles équilatéraux égaux. Sa base a donc pour expression (256)

Sa hauteur est le côté de Tangle droit d'un triangle rectangle . ayant pour second côté de l'angle droit le rayon du cercle cir-

conscril au triangle de base, c'est-à-dire ~=9 et pour hypoté-

nuse Tarôte a du tétraèdre. Cette hauteur est, par suite.

95o QÉOMAmiB DANS L'SSPACB.

On a donc, pour le volume du tétraèdre régulier en foifction de son arête,

Exemple.

Quel est le volume du tétraèdre régulier dont Varéte est I I mètre ?

On a

V = 2-- = — = o™%ïi785i

à 7 centimètre cube près.

SCOLIE

M8. Pour évaluer le volume d'un polyèdre, il suffit de décomposer ce polyèdre en pyramides, de calculer les volumes de ces pyramides et de faire la somme des nombres obtenu». Plus g^éralement, il suffit de décomposer lé polyèdre proposé en parties telles, que l'expression de leur volume soit connue.

Si Ton peut trouver dans l'intérieur du polyèdre un point à égale distance de toutes ses faces, les pyramides qui le com-» poseront auront pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'une des faces, el le volume du polyèdre aura pour mesure le tiers du produit de son aire par cette perpendiculaire*

THÉORÈME

409. Un tronc de pyramide à bases parallèles est équivalent à la somme de trois pyramides ayunt pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour hases respectives les deux bases du tronc et la moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

I* Soit ijig. 246) le tronc de pyramide triangulaire à bases

parallèles ABCDEF.