On peut donner au mot tronc une extension utile

De même que les théorèmes relatifs aux sections d'un prisme s'étendent au cas où elles sont extérieures (371), les théorèmes relatifs aux sections d'une pyramide (397) s'étendent aux cas où ces sections deviennent extérieures, qu'elles soient faites au delà du sommet ou au-dessous de la base de la pyramide proposée. Les plans sécants doivent seulement rester parallèles à la base de cette pyramide.

On peut distinguer les deux cas possibles en disant que les sections faites au-dessous du sommet donnent des troncs de première espèce, et que les sections faites au-dessus du sommet donnent des troncs de seconde espèce.

254 OtOMtTAtB DAm l'eSPACB*

Pour évaluer le volume d'un tronc de seconde espèce ABCDEF (fig. 248), Il suffit d'effectuer la somme des pyra-

mides SÀBC, SDEF. La hauteur h du tronc est d'ailleurs égale à la somme des hauteurs H et H' des deux pyramides. On a ainsi» en conservant les notations du n*» 410,

V=lBH-Hi6H'=|(u.i|:).

De la relaUon(398)

il résulte

d'où

A a "~ A-h« "A-ha* ii ah

Par suite,

et aussi

BA A^ + g» M 3 *A'(A4-a)" 3

^ Brt'X A ^„ . ,777 \

^= U« - X + Ât) = 3 ^« + VB*.).

Pour un tronc de seconde espèce, la formule du volume est donc la même que pour un tronc de première espèce, sauf le signe de la moyenne proportionnelle. On passe donc de l'une à raiiire formule en changeant le signe de cette moyenne ou èn changeant a en a.

LiTtB TI. — • LB8 POLTftDRIS. 255

PROBLÈM£.

413. On donne le volume V = io"''=,5, la hauteur h=i"^s/3 et le côté A = 2™ de la base inférieure d'un tronc de pyra* mide à bases parallèles ; on suppose que cette base est un hexagone réf(ulier, et l'on demande le côté x de l'hexagone régulier, hase supérieure du tronc.

L'équation du problème sera Téquation (2) du n^ill» dans laquelle on remplacera a par Tinconnue 4P, c'estrè-dlre

d'où, puisqu'on a ici B = \ ^

et, en substituant les nombres donnés,

Les racines de cette équation sont

jr'=i» et 07*'= — 3™.

La première répond à un tronc de première espèce; la se» condé, prise potitivement, à un tronc de seconde espèce.

BXBRaCBS.

1. Démontrer que deux tétraèdres sont égaux: 1° lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblaMemeiit disposées; 2* loraqu'ito ont une tu» égale adjacente à trois angles dièdres égaux cbaâm à chacan et semblableirât disposés ; 3*" lorsqu'ils ont trois fàoes égales chacune à ofaacune et aemUablement disposées; 4* lorsqalls ont une arête égale et cinq angles dièdros égaux cbacnn è Ghacun et semblablement disposés.

2. Trouver dans Tintérieur d*un tétraèdro un point tel , qu en le joignant aux quatreiBommets, on décompose ce tétraèdro en qualro tétraèdres éqni?Blents.

3. Si l'on prend un point 0 dans l'intérieur d'un tétraèdro SABC, et si Ton prolonge les droites SO, AO, BO, GO, jusqu^à la rencontra des ftoes

'a56 OtOMtTBIB DANS l'sSPâCI.

opposées en a, c, on a la relation

0£ Oh 0£

À, Le plan déterminé par une arête d'un tétraèdre et le milieu de l'aréte opposée partage ce tétraèdre en deux tétraèdres équivalents.

5. Tout plan conduit par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre le partage en deux volumes égaux,

6. Quelle est la différence des volumes d'un tronc de pyramide à bases parallèles et d*un prisme de même hauteur ayant pour base la demisomme des bases du tronc de pyramide? — Quelle erreur commet-on en remplaçant l'un des volumes par l'autre, pour une hauteur de 6 mètres et pour des bases du tronc de pyramide égales à 3*^,75 et 2*^,85?

7. Trouver Texpression du volume d'un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en le décomposant en troncs de pyramide triangulaires.

8. La hauteur d'un tétraèdre régulier est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d'un point pris dans l'intérieur du polyèdre sur ses quatre faces.— Examiner le cas où le point est choisi extérieurement.

9. Mener un plan parallèle à la base d'un tétraèdre donné, de manière que ce plan détermine un autre tétraèdre dont l'aire totale SOit la moitié de celle du tétraèdre donné.

10. Étant données trois droites parallèles non situées dans un même plan, on porte sur l'une d'elles une longueur AB donnée, et l'on prend ariïitrairement un point C sur la seconde droite, un point D sur la troisième ; démontrer :

i" Que le volume de la pyramide triangulaire ABCD est constant, quelles que soient les positions des points C et D et la parallèle sur laquelle on porte la longueur AB; 2'' que ce volume est proportionnel à AB.

11. Étant donné un tétraèdre SABG, on construit sur les faces SAB, SBC, SAC, trois prismes triangulaires de hauteur arbitraire dontlesbases supérieures se rencontrent en 0; sur la base ABC du tétraèdre, on construit alors un quatrième prisme triangulaire en prenant ses arêtes latérales éîïales et parallèles à la droite SO : démontrer fjue le volume de ce dei nu r prisme est équivalent à la somme des volumes des trois premiers prismes.

LITIB TI. — US POLTtoBBS.

pROGBAHHB OFnciBL *. Notions sur les polyèdres semblables, remparts des surfaces et des volumei.

DÉFINITIONS

On donne le nom de polyèdres semblables aux polyèdres qui ont leurs angles polyèdres égaux et qui sont compris sous un même nombre de faces semblables chacune a cbacune.

L'égalité des angles polyèdres entraîne évidemment l'égal iié des angles dièdres homologues.

On appelle homologues les éléments (faces, arêtes, dièdres, etc.) qui se correspondent dans deux polyèdres semblables.

4>15. Les arêtes homologues de deux polyèdres semblables jont proportionnelles. Car les faces semblables de ces polyèdres ayant le même rapport de similitude (175), puisqu'une même arête appartient sur chaque polyèdre à deux faces adjacentes, le rapport de deux arêtes homologues quelconques ' est constant.

THÉORÈMlg.

416. En coupant une pyramide par un plan parallèle à la base, on détermine une seconde pyramide semblable à la première.

Fig. 2 ',9.

Soit {Jig. 249) la pyramide SABCDE dans laquelle un plan parallèle à la base a déterminé la section FGUIK. Les deux pyramides SABCD£, Sf GUiK, ont leurs faces semblables ; car

a58 OÉOHtTRU DAHS l'bSPâCB;

les polygones ABGDE» F6HIK, sont semblables (397), et les faces latérales SAB et SFG, SBC et SGH, etc., le sont aussi (176 ), par suite du parallélisme des côtés de ces deux polygones.

Quant aux angles polyèdres, l'angle polyèdre S est commun, et deux angles irièdres homologues tels que A et F sont égaux ; en effet, on peut les faire coïncider, puisqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées, savoir : l'angle dièdre SA commun, la face SAB égaie à la face SFG, et la face SAË égale à la face SFK.

THÉORÈME

417. Deux pyramides trianguldircs sont semhiabirs, /orsqu'eUt'S ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées.

Fie a5o.

Soient {Jîg. ?.5o) les pyramides SÂBC, S'A'B'C, dans lesquelles l'angle dièdre SA est égal à l'angle dièdre S'A', et les faces SAB, SAC, semblables aux faces S'A'B', S'A'C, et semblablement placées.

Portons la seconde pyramide sur la première, de manière qu'elles aient môme sommet et que les faces homologues de leurs angles dièdres égaux coïncident. Le triangle S'A'B' étant semblable au triangle SAB et le point A' tombant en D sur SA, S^B' se confondra avec SB, et le point B' viendra en un point E tel, que DE soit parallèle à AB. De même, le triangle S'A' G' étant semblable, au triangle SAC, S'C se confondra avec SC, et le point C viendra en un point F tel, que DF soit parallèle à AC. La base A'B'C occupera donc alors la position DEF, et

tlVRE TI. — LES P0LTÈDRK8. ^Sc)

son plan sera parallèle au plan de la base ABC (297). La pyramide SDEF étant semblable à la pyramide SABC (416), il en est de même de la pyramide S'A' B'C qu'elle représente.

THÉOREMt:.

418. Deux polyèdres^ composés d'un même nombre de té" traèdres temhlahles chacun à chacun et semblablement dUpo^ sés, sont semblables,

Fi{j. 95 1.

Soient {Ji^. 25i) OABD, DOBC, CDOP, PCDE, etc., O'A'B'IV, D'O'B'C, C'D'O'F, P'C'D'E', etc., deux séries de tétraèdres respectivement semblables et semblablement disposés; le polyèdre formé par les premiers tétraèdres est semblable au polyèdre formé par les seconds*

En effet :

1° Les faces homologues des deux polyèdres sont sem-> blables comme composées d'un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés. Considérons, par exemple, la face ABCD du premier polyèdre. Les triangles ABD, BCD, qui la constituent sont semblables aux triangles A'fi'D% WC*jy, comme llices homologues de tétraèdres semblables. I>e plus» les triangles ABB, BCD, étant dans un même plan, les angles dièdres OBDA, OBDC, des deux tétraèdres OABD, DOBC, sont supplémentaires (337); il en est donc de môme des angles dièdres homologues O'B'D'A^ O'B'D'G', des tétraèdres semblables O'A'B'D'; D'O'B'C. Par suite, les .deux triangles A'B'D', B'CD', sont aussi dans un même plan, et consUtuënt sur le second polyèdre une face A'B'CD' semblable à la face ABCD. '

2" Les angles polyèdres des deux polyèdres sont égaux comme ayant tous leurs éléments égaux et semblablement

36o GtOMÉTRIB DANS l'bSPACB.

disposés; car les faces homologues des deux polyèdres étant semblables et semblablement disposées, leurs angles polyèdres ont d'abord toutes leurs faces égales chacune à chacune et

semblablement disposées. De plus, les angles dièdres homologues de ces angles polyèdres sont égaux, soit comme dièdres homologuesdedeux tétraèdres semblables, soit comme sommes d'angles dièdres égaux. L'angle dièdre BCDE, parexemple, formé par les deux faces ABCl), CDE, du premier polyèdre, est la somme des trois angles dièdres BCDO, ODCP, PDCE, qui appartiennent aux trois tétraèdres DOBC, CDOP, PCDE; et l'angle dièdre B'C'D'E', formé par les deux faces A'BX'D', CD'E', du second polyèdre, est la somme des trois angles dièdres homologues B'C'D'O', O'D'C'I", P'D'C'E', qui appartiennent aux trois tétraèdres semblables D'O'BX', C'DO F; FCIKE'.

419. Réciproquement, deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés.

Fig. aSa.

Soit {Jig. 252) un point 0 pris dans l'intérieur du premier polyèdre; décomposons-le en tétraèdres en prenant le point 0 pourcentre de décomposition, c'est-à-dire en joignant ce point à tous les sommets du polyèdre dont on a d'abord partagé les &ces en triangles; et soit OÂBG l'un des tétraèdres obtenus. Les points A, B, C, ayant pour homologues sur le second po* lyèdre les points A', V, C, menons un plan O^A^B' faisant audessus de A'B'C un angle dièdre égal à celui que forme le plan AOB au-dessus de ABC» et dans ce plan (yA'B' construisons le triangle O'A'B' semblable au triangle OAB. En prenant le point 0' pour centre de décomposition, on décomposera le second polyèdre en tétraèdres placés semblablement à ceux