LIVRE VI. LES POLYÈDRES. a6l

du premier polyèdre, et il reste seulement à prouver que ces lélraèdres sont semblables deux à deux, les premiers OABC, CKA'B'G', l'étant par coostrucUon (417).

Soit D un quatrième sommet du premier polyèdre tel, que les deux triangles ABC, ABD, aient un c6té commun, et soient situés sur la même face ou sur deux faces adljacenles. Comparons les deux tétraèdres OABD, O'A'B'IK. Les fiices OAB, (VA'B'i sont semblables comme faces homologues des deux lélraèdres semblables OABC, O'A'B'C; les faces ABD, A B D', le sont aussi comme triangles homologues de .deux faces semblables des polyèdres donnés. De plus, si les deux triangles ABC, ABD, sont dans un même plan, les deux dièdres OABD, O'A'B'D', sont égaux comme suppléments des angles dièdres égaux OABC, O'A'B'C; si les deux triangles ABC, ABD, ne sont pas dans un même plan, les deux angles dièdres OABD, O'A'B'D', sont encore égaux comme différences des angles dièdres égaux DABC et OABC d'une part, D'A'B'C et O'A'B'C d'autre part (414). Dans les deux cas, les tétraèdres OABD, CA'B'D', sont semblables (417).

La même démonstration s'appliquera de proche en proche. La similitude des deux tétraèdres considérés en dernier lieu permettra toujours de vérifier la simUitude des deux tétraèdres suivants.

SCOUBS.

420. Deux points 0 et 0' rapportés à deux polyèdres semblables sont dits homologues, lorsqu'en joignant l'un d'eux 0 aux sommets consécutifs A, B, C, de l'un des polyèdres, et l'autre 0' aux sommets homologues A', B', C, de l'autre polyèdre, on obtient deux tétraèdres OABC, O'A'B'C, semblables et semblablemenl disposés par rapport aux deux polyèdres.

U résulte de la démonstration précédente que deux points homologues quelconques peuvent être pris pour centres de décomposition de deux polyèdres semblables en tétraèdres semblables et semblablement disposés.

Si le point 0 est extérieur au premier polyèdre, son homologue G' est aussi extérieur au second polyèdre; il faut alors considérer les deux polyèdres comme composés de tétraèdres additife et de tétraèdres soustractifs.

a6l GtOHÉTRIV 1»AHS l'BSFAOB.

Si le point 0 coïncide avec l'un des sommels A du premier polyèdre, son honiologuc 0' coïncide avec le sommet A' du second polyèdre, el les diagonales homologues des deux polyèdres, relatives aux sommels A et A', se conl'ondent avec les arêtes latérales de leurs tétraèdres homologues.

42i . Deux droites rapportées à deux polyèdres semblables sont dites homologues, lorsque leurs extrémités sont deux à

deux des points homologues. Telles sont, par exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues.

Le rapport de deux droites homologues quelconques est I égal au rapport de similitude des faces homologues des deux ' polyèdres.

Fig. a53. Fig. 2j4*

Soient {Jig.253) ABCDE, A'B'C'D'F, deux faces homologues quelconques des polyèdres donnés, et FH, F' H', deux droites homologues quelconques. Formons les tétraèdres homologues FABC, F'A'B'C; HABC, H'A'B'C. La similitude de ces tétraèdres entraîne celle des tétraèdres FHAC, F'H'A'C. En effet, les faces FAC, HAC, sont respectivement semblables aux faces F'A.'e, U'A'C, et l'angle dièdre FACH, différence des angles dièdres FACB» HACB, est égal à l'angle dièdre F'A'C'H', différence des angles dièdres égaux F'A'G'B', H'A'C'B'. Les deux tétraèdres FHAC, FH'AXS étant sem*blablesy on a (415)