LITRE TII. ~- LES CORPS RONDS

vanie(*):

SCOLIE

459. On appelle en général surface conique le lieu des positloDS successives d'une droite ÂiSA {Jig* 26Ô) assujettie à pas-

Fif . 968.

ser par un point flxe S et à rencontrer une ligne flxe AMB, plane ou gauche. La droite mobile Ai SA reçoit le nom de gênératriccy la ligne fixe AMB celui de directrice, et le point fixe S celui de sommet. Une surface conique est formée de deux nappes SA,B,, SAB, séparées par le sommet.

Lorsque la directrice est une ligne droite, la surface conique est un plan.

On peut prendre pour directrice d'une surface conique une ligne quelconque tracée sur la surface, une de ses sections planes, par exemple. Si, dans celte section, on inscrit un polygone, et que la génératrice glisse sur ce polygone, en passant toujours par le sommet, elle engendre une surface pyramidale inscrite qui se confond à Ja limite avec la surface conique, lorsque les côtés du polygone inscrit correspondant tendent vers zéro.

(*) CofRpTM rendus da séances de V Académie des Sdenees, t. XLVI11, p. g6.

284 GtOMÉTRIB BÀllS l'BSPACB.

Il résulte de là que les sections faites dans une surface conique par deux plans parallèles sont deux courbes semblables, comme limites des deux polygones semblables (307) que les mêmes plans déterminent dans la surface pyramidale inscrite.

Une surface cylindrique peut être considérée comme la limite d'une surface conique dont le sommet s'est éloigné indéfiniment dans une direction donnée*

460. Un cône est le corps compris sous une surface conique limitée d'une part à son sommet et de l'autre à une section plane, qui prend le nom de base; la hauteur du cône est la distance du sommet au plan de la base. Un cône h base circwlaire est droit ou oblique, suivant que la projection orthogonale du sommet sur le plan de la base coïncide ou non avec le centre du cercle. Le cône circulaire droit n'est autre que le cône de révolution étudié au § II.

Le volume d'un cône quelconque est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

On arrive à ce théorème en considérant le cône comme la limite d'une pyramide inscrite» lorsque les côtés de la base polygonale tendent vers zéro.

h^A. Dans un cône ou dans un cylindre, le plan SNT, déterminé par une génératrice SN et par la tangente TST menée à une courbe ANB située sur la surface, (Ut point N oiX cette, courbe rencontre la génératrice^ est le même, quelle que soil la courbe considérée {Jig, 269).

II suffit de prendre une seconde courbe CMD sur la surface, coupant la génératrice SN au point M, et de prouver que le

Fijj. afig.

plan SNT renferme la tangente MU menée par le point M à celte courbe. Ov, le plan r^SN', mené par la génératrice SMN et

UTBB TH. — LIS CORPS BOITDS. 285

une génératrice voisine SM'N', a pour limite le plan SNT, puisque la corde NN' tend vers la tangente NT. D'ailleurs, quand N' vient en N, M' vient en M, et les sécantes NN', MM', deviennent en même temps les tangentes NT et MR; comme les sécantes MM', NN', sont sans cesse contenues dans le plan SNN', on voit que le plan SNT renferaie la tangente MR.

Ce plan SNT est dit le plan tangent au cône ou au cylindre suivant la génératrice .

Dans le cône ou le cylindre de révolution, le plan tangent satinant une génératrice est perpendiculaire au plan déterminé par cette génératrice et par l'axe; car le plan UDgent contient la tangente à une section droite de la surface, et cette tangente est à angle droit sur la génératrice et sur l'axe.

EXËRaCBS.

1. Evaluer l'erreiir commiao en opérant, pour le cubage des troûcs d'arbres, comme il est indiqué au n** 457.

2. Calculer Taire convoie, Taire totale et le volume d'un cône équilatéral en fonction de son côté. — Pour quelles valeurs de ce côté Taire totale du cône est-elle un mètre carré, et son volume un mètre cube?

3. Partager Taire latérale d*un cône de révolution en n parties équivalentes par des plans parallèles à sa base.

4. Le volume d'un tronc de cône de révolution étant 4i*'t328, sa hauteur l'^fSiy, le rayon d'une de ses bases a",698, on demande de calculer à o",ooi près le rayon de sa seconde base.

5. Calculer à o,ooi près le rapport que doivent présenter les rayons des bases d'un tronc de cône de révolution, pour que son volume soit la moitié de celui du cylindre de même hauteur élevé sur la base inférieure du tronc.

6. Quel est le rapport des volumes engendrés par un parallélogramme tournant successivement autour de ses deux côtés adjacents?

7. Soit B'C la projection du diamètre BC d'un cercle OÀ sur la tangente TT' au point A; chercher pour quelle position de BC le rapport du cercle OA à Taire totale du tronc de cône engendré par la rotation du trapèze BCB'C autour de TT' est égal à m; discussion,

8. Un tronc de cône de révolution d'une substance dont le poids spécifique est cf, est plongé verticalement dans un liquide dont le poids spécifique est d'; les rayons de ses bases sont R et r, sa hauteur est //. On

demande de calculer la hauteur de la partie imim rui'p et le rayon de la section déterminée dans le tronc de cône par la surface de niveau du liquide.

GÉOMÉTRIE DAKS L' ESPACE