III

PnoaiAnn officiel : Sphère, — Sections pkmes; grands cercles, petiis cercles» — Pôles d'un cercle* — Étant donnée une sphère, trouver son rajron par une construction plane, — Plan tangent à la sphère,

ntFIHITIONS.

462. Une surface de révolution est le lie» des positions successives d'une ligne MNP qui tourne autour d'une droite fixe XY à laquelle elle est invariablemeat liée (Jig. 270). Dans

Fig. 27Q.

ce mouvement» tout point M de la génératrice MNP décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe XY» et dont le centre 0 est sur cet axe; d'après cela, toutes les sections faites par des plans perpei\diculaires à l'axe sont des cercles: ces cercles M, MM,, N,NN,, P.PPj, sont les parallèles de la surface. On appelle méridiennes les scellons faites dans la surface par des plans passant par l'axe XY; deux méridiennes quelconques M.N.P,, MjNjPj, sont des lignes superposables; car, si l'on fait tourner le plan XOP, de l'angle P,OP, de manière à amener le point P, sur le point P,, les points Ml, Ni,. .., arriveront respectivement sur Ms, Nj,..., attendu que les angles M1OM3, N,ON„ PiOPs,... sont égaux comme angles plans d'un même dièdre.

Toute courbe tracée sur une surface de révolution peut être prise pour génératrice de cette surface; le plus souvent» on choisit pour génératrice la courbe méridienne.

LITKB TII. — IBS G0BP8 ROMIM. - 287

Les surfaces de révolution admettent un second mode de génération fort remarquable : on peut les considérer comme le lieu des positions d'un cercle dont le centre parcourt t'axe

fixe XY, dont le plan reste perpendiculaire à cet axe, et dont le rayon varie suivant une loi telle, que le cercle rencontre sans cesse une méridienne ou toute autre courbe tracée sur la surface. C'est ce cercle variable de grandeur et de position qui est alors la génératrice, et la méridienne ou la courbe fixe considérée sur la surface qui est la directrice.

Nous avons déjà étudié deux surfaces de révolution : la surface conique de révolution, dont le méridien est une droite qui rencontre l'axe; la surface cylindrique de révolution^ dont le méridien est une droite parallèle à l'axe. Nous allons maintenant en étudier une troisième ; la surface sphérique*

• 463. On appelle surface sphérique la surface engendrée par la rotation d'une demi-circonférence ABA.' autour du diamètre AA' qui la termine {Jig, 27 1 )•

Fig. 971.

Dans ce mouvement» tout point de cette demi-circonférence décrit un cercle dont le centre est situé sur Taxe de rotation AA' et dont le plan est perpendiculaire à cet axe.

La sphère est le corps limité par une surface sphérique. On confond souvent dans le discours les mots sphère et surface sphérique, de même qu'en Géométrie plane on dit parfois cercle pour circonférence de cercle*

46(« Considérons la sphère engendrée par la rotation du demicercle ABA' autour du diamètre AA', et un point quelconque de Tespace. Quand le demi-cercle générateur vient se placei suivant ACA' dans le plan déterminé par AA' et par le point

considéré, il peut se faire que ce point soit comme E à l'extérieur du cercle ACA', ou comme I à l'intérieur, ou enfin

288 !Gêom£tais dans l' espace.

comme M sur la circonférence de ce cercle. Bans le premier cas, le point E est extérieur à la splière sa distance au centre 0 du cercle AGA' est plus grande que le rayon R de ce cercle; dans le second cas» le point I est intérieur k la sphère et la distance 01 est moindre que R; enfin, dans le troisième cas, le point M est sur la surface sphérique et la distance OM est é^9\e à R.

La surface sphérique peut donc être encore définie le iieu géométrique des points équidistants d'un point fixe.

Ce point fixe 0 est dit le centre de la sphère. On nomme rayon toute droite, telle que OA ou OM, menée du centre 0 à la surface; tous les rayons d'une même splière sont égaux. On nomme diamètre toute droite, telle que MN, passant par le centre et limitée à la surface sphérique; tous les diamètres d'une même sphère sont égausç, car chacun d'eux est la somme de deux rayons. ,

Deux sphères de même rayon sont égales,

465. La définition donnée au n° 107 pour la tangente aux courbes planes, s'étend aux courbes de l'espace. 11 est aisé de voir, d'après cela, que la tangente MX à une courbe quelconque AMB tracée sur la sphère est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OM mené au point de contact. £n effet (Jig. 272),

prenons sur la courbe AMB un point M' voisin du point M, menons la sécante MM'S el joignons le centre 0 nu milieu I de la corde MM'. Le triangle MOM' étant isocèle, la droite 01 est perpendiculaire sur MM' (37). Or, lorsque la sécante MM'S tourne autour du point M de manière à devenir à la limite la tangente MT, le point I milieu de MM' se réunit au poiiit M en même temps que le point M'. L'angle OMT, position limite de l'angle droit OIS, est donc lui-même un angle droit.

UVRB ^ tas CORPS E0RD8. ' 289

THÉORÈME

&66. Toute êeetion plane de la sphère est un cercle.

En effet, les points de la section sont, puisqu'ils appariiennent à la sphère, situés à la même distance du centre de cette sphère ; or, on sait (88, 324») que le lieu des points d'un plan équtdistants d'un point lixe est une circonférence de cercle.

Fig. a73.

Corollaires.

467. Si le point fixe 0, qui est ici le centre de la sphère , (Jig» 273 ), est situé dans le plan sécant^ ce point est le centre même de la section ACB dont le rayon ne diffère pas de celui de la sphère.

Si le point iixe 0 est extérieur au plan sécant» le centre I de la section BEF est hi projection du centre 0 de la sphère sur le plan sécant {ZSh). Quant au rayon lE == r de la section, c'est le côté de Tangle droit d'un triangle rectangle OIE dont l'hypoténuse OE est ie rayon R de la sphère et dont Tautre côté de l'angle droit 01 est la distance d du centre de la .sphère au plan sécant. Cp rayon r résulte donc de la formule

On est ainsi conduit à diviser les sections planes de la sphère en deux classes : les grands cercles, dont les plans passent par le centre de la sphère et qui sont tous égaux entre eux, puisqu'ils ont touS'pour rayon le rayon de la sphère ; et les petits cercles, dont les plans ne contiennent pas le centre de la sphère» et dont les rayons, inférieurs à celui de la sphère, décroissent à mesure que leurs plans s'éloignent du centre de la sphère. Deux petits cercles également éloignés du centre de la sphère sont égaux, et, de deux petits cercles inégale^

ago GioaÉTBiB bans l'bspacb.

ment éloignés du centre de la sphère, le plus grand est celui qui est le plus voisin de ce centre.

Ajoutons qu'il fiiut trois points de la surface sphérique pour déterminer un petit cercle (109, 282), tandis que deux points

suffisent pour déterminer un grand cercle, attendu que le centre est connu; toutefois, dans ce dernier cas, les deux points donnés ne doivent pas être en ligne droite avec le centre de la sphère, sans quoi le plan du grand cercle, assujetti seulement à passer par un diamètre, pourrait occuper une infinité de positions.

468. Tout grand cercle divise la sutface sphérique et la sphère en deux parties égales» Car si , après avoir séparé les deux parties, on les applique sur la base commune en tournant leur convexité dans le même sens, les deux surfeces coïncideront, sans quoi tous les points de la surface sphérique ne seraient pas à la même distance du centre.

469. Deux grands cercles ÂPBP', ABC (Jig. 274)» se divisent mutuellement en deux parties égales} car le centre 0 de la sphère, appartenant à la fois aux plans de ces deux cercles, est situé sur leur intersection commune, qui dès lors est un diamètre.

470. L ue droite ne peut couper la surface sphérique en plus de deux points. Car celte droite ne saurait avoir plus de deux points communs avec la circonférence de grand cercle, située dans le plan déterminé par cette droite et le centre de la sphère.

471. La sphère est de révolution autour étun diamètre quelconque AB. Car la circonférence ACB déterminée par un plan quelconque passani par AB, ayant même centre 0 et même rayon OA que la sphère, engendrera évidemment celte surface en tournant autour de AB (Jig. 274)*

472. On nomme pâles d*an cercle de la sphère les extrémités du diamètre de la sphère qui est perpendiculaire au plan du cercle.

Deux cercles DFË, ACB {Jig, 275), dont les plans sont parallèles, ont les mêmes pôles P et F.

Le centre I d'un cercle quelconque DE, ses pôles P et P', et

Digjtized by

LITIB Tll. — LES C01P8 RONDS. tKpI

le centre 0 de la sphère sont sur une même perpendiculaire au plan de ce cercle.

Tout grand cercle PFCP' passant par les pôles P et P' d'un cercle DFE a son plan perpendiculaire au plan de ce cercle, puisqu'il contient la droite PP' qui est perpendiculaire à ce dernier plan (344).

Fie- 274- Fiç. 275.

THÉORÈME

473. Tous les points de la circonférence d'un cercle DFE de la sphère sont à égale distance de chacun des pôles P et P' de ce cercle {Jig, 276 ).

En effets la droite PI, qui joint le pôle P au centre I du cercle DFE, étant perpendiculaire au plan DFE, les droites PD, PF, PE>..., sont des obliques qui s'écartent éf^Ieroent du pied I de 1a perpendiculaire, et qui par suite sont é§[ales.

On voit encore que les arcs de grand cercle PD» PF, P£,..,, sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales.

Enfm, dans le cas où le cercle considéré DFE devient un grand cercle ACB, la même propriété subsiste; mais les angles droits POA, POC, POB,..., ayant leurs sommets au centre des grands cercles PAP', PCP', PBP',..., les arcs PA, PC, PB,..., sont tous égaux au quart d'une circonférence de grand cercle.

Scotnn.