Des deux pôles P et P' d'un petit cercle DFE, nous ne

considérerons désormais, à moins d'avertissement contraire, que le pôle P qui est le plus rapproché du plan de ce cercle. Nous donnerons à la distance recliligne PD, qui sépare le pôle P d'un point quelconque D du cercle DFE, le nom de distance polaire de ce cercle, et à la longueur de l'arc de grand cercle PD, qui va du pôle à un point quelconque D du cercle DFE, le nom de raxon sphérique de ce cercle.

.29^ OfiOHtTBIB lUNS l'BSPACE.

Le rayon sphérique d'un grand cercle est égal au quart delà circonférence de ce cercle ou à un quadrant, et sa dislance polaire est égale à la corde de cet arc, c'est-à-dire au côté du carré inscrit dans un grand cercle*

475. Le théorème précédent permet de tracer des circonférences sar une sphère solide comme on les trace sur un plan. On emploie à cet effél un compas à branches courbes, aûn de ne pas être gêné par la convexité de la sphère. On donne au

compas une ouverture (distance des deux pointes) égale à la distance polaire voulue, et on place la pointe sèche au point choisi pour pôle; l'autre pointe décrit alors le cercle demandé.

Pour décrire un. grand cercle, il faut avoir sa distance polaire, c'est-à-dire la corde d'un arc égal au quart d'un grand cercle ; ce qui exige la connaissance du ra^on de la sphère (4>85).

THÉORÈME

476. Tout plan ACB perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon OC est tangent à la sphère, et réciproquement tout plan ACB tangent à la sphère est perpendiculaire à C extrémité du rayon OC mené au point de contact G (fig. 276).

On dit qu'un plan ACB est tangent à la sphète lorsqu'il n'a avec cette surface qu'un point commun C, qu'on nomme point de contact.

Cela posé, soit ACB un plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon OC. D étant un point quelconque de ce plan, autre que C, OD sera oblique à ce plan et l'on aura OD^'OC, de sorte que le point D sera extérieur à la sphère. Le plan ACB, n'ayant d'après cela que le point G commun avec la surface sphérique, sera tangent à celte surface.

Inversement, si ACB est un plan tangent à la sphère au pointe, tout point D de ce plan, autre que C, sera extérieur à la sphère, et l'on aura OD >> OC ; donc OC étant la plus courte distance du centre 0 au plan ACB, sera perpendiculaire sur ce plan.

ConOLLAIBES.

W7. Par un point pris sur la surface sphérique, on peut toujours mener un plan tangent à cette surface, et l'on ne peut en mener qu'un (317).

UYBE VII. — LM COm KOlflïS.

478. Le plan langent à la sphère en un point C contient les tangentes en ce point à toutes les courbes qu'on peut tracer par ce point sur la surface sphérique ( 465, 319).

479. Considérons une sphère 0 et un point extérieur S {Ji^. 277 }. Par la droite OS, menons un plan quelconque qui déterminera dans la sphère un grand cercle PÂFy et menons par S une tangente SA à ce cercle. Pendant que le demicercle PAP' en tournant autour de Taxe SO engendre la sphère, la tangente SA engendre un cône de révolution qui a en commun avec la sphère le cercle AB décrit par le point A. De plus, en tout point M de ce cercle, le cône et la sphère ont le même plan tangent; car la génératrice SM et la tangente MT au cercle AB, qui déterminent le plan langent au cône (461), sont situées l'une et l'autre (478) dans le plan tangent à la sphère. On dit d'après cela que le cône est circonscrit à la sphère et que la sphère est inscrite au cône le long du cercle commun AB.

On voit encore par là que par un point extérieur S, on peut mener une infinité de plans tangents à une sphère 0, et que toutes les tangentes SA, sA, SB,..,, à la sphère, issues du même point S, sont égales.

Si le point S s'éloigne indéfiniment sur la droite PF, le cône dégénère en un cylindre circonscrit, et le lieu des points de contact de la sphère et de ce cylindre de révolution devient le grand cercle perpendiculaire à la direction PP' des génératrices du c^'lindre.

480. L'intersection de deux sphères A et B est une circonprence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne des

Fig. 276.

Fig. 977.

294 GtOMtTRIB BAHB l'bBPàCB.

centres AB des deux sphères et dont le centre est sur cette ligne {fg. 278).

Car celte intersection n'est autre que la circonférence engendrée par la rotation autour de AB du point C commun aux deux circonférences suivant lesquelles les deux sphères sont coupées par un plan quelconque passant par AB.

Scout.

481. Lorsque deux sphères n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes en ce point qu'on nomme point de contact; le point de contact est situé sur la ligne des centres, et en ce point les sphères ont le même plan langent.

Les positions relatives de deux sphères sont au nombre de cinq ( 114 ) , et les relations correspondantes entre la distance des centres et les rayons sont celles qui ont lieu pour les cir^ conférences de grand cercle déterminées dans les sphères données par un plan quelconque passant par la droite des centres.

Fig. vfi. Fig. 379.

THÉOBÈME.

482. Par quatre points A, B, C, D, non si triés dans un même plan , on peut faire passer une surface sphérique , mais une seule (Jig. 279).

II s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé à la même distance des quatre points A, B, G, B.

Or, tout point équidistant de A, B, G, D, doit se trouver sur la perpendiculaire FH élevée au plan ABG par le centre F du cercle circonscrit au triangle ABG, puisque cette perpendiculaire est le lieu des points équidistants -de A, B, C (324); il doit aussi appartenir à la perpendiculaire EG élevée au plan ACD par le centre E du cercle circonscrit au triangle ACD. Comme deux droites FII, EG, ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistant de A, B, C, B. En second lieu, un tel