U\RE VU

— LES CORPS ROKDS

S IV

Programme officiel : Mesure de la surface engendrée par une ligne brisée régulière, tournant autour d'un axe mené dans son plan et par son centre, — Aire de Ig zone, de la sphère entière.

DÉFiiriTioirs.

4-86. On appelle zone la poriion de la surface sphérique comprise entre deux cercles dont les plans sont parallèles. Ces cercles sont les hases de la zone, et la dislance de leurs plans est sa hauteur. Ainsi, tandis que la demi-circonférence PABP' engendre une sphère en tournant autour du diamètre PP' {^g. 281), l'arc AB décrit une zone dont les bases sont les cercles AC et BD décrits par les points A et B, et dont la hauteur est la projeciion CD de Parc AB sur l'axe PP'«

Fig. 38i« F

Si Tun des plans est tangent à la sphère» Pun des cercles considérés se réduit à un point, et la zone, qui n'a plus alors qu'une base, reçoit le nom de calotte sphérique. Ainsi l'arc PA, en tournant autour de PF, engendre une calotte sphérique dont le cercle ÂG est la base et dont PC est la hauteur.

THÉORÈME

487. Lorsqu'une droite AB tourne autour é^un ave xy situé dans son plan, Faire qu'elle engendre a pour mesure le pro^ duit de la projection CD de cette droite sur Vaxe pmr la cir- • conférence dont le rayon est la perpendiculaire 10, élevée au milieu I de la droite AB jusqu'à la rencontre de l'axe xjr Ifig, 282).

Nous supposerons que la droite AB est située tout entière

298 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

d'un même cùlé de l'axe xy\ Dès lors, quelles que soient les pèsitions relatives de AB et de x^» Valre engendrée par Afi a pour mesure (4ô0) (i) ait.lM.AB,

IM étant la perpendiculnire abaissée du point I sur xy. Si la droite AB est parallèle à or/ (/î^, 284), le théorème

Fig. aSa.

FIc.383.

Fig. 384.

proposé est tout démontre; sinon il faut transformer l'expression (i). A cet effet, menons AE parallèle à :r/ jusqu'à la rencontre de la projetante BD {Jig. 282); les triangles ABE, IMO, sont semblables comme ayant les côtés respectivement per^ pendiculairesy et l'on a

5i = ^, d'où IM.AB = IO.AE.

L'expression (i) peut être alors remplacée par

a^r.IO.AE ou air.IO.CD»

ce qui démontre la proposition énoncée.

Dans le cas où le point A est situé sur l'axe [Jîf^. ^83), le raisonnement subsiste; seulement la droite AË se confond avec l'axe. •

THÉORÈME

488. L'aire engendrée par une ligne brisée régulière ABGD, tournant autour d'un diamètre xy qui ne la traverse paê, a pour mesure le produit de la circonférence inscrite dans la ligne brisée par la projection A'D' de cette ligne sur Vaxe xy

{fig, m).

Soient 0 le centre et 01 =0K =0L, l'apothème de la ligne brisée régulière ABCD; si l'on désigne par aire AB l'aire engendrée par la rotation de AB autour de xy^ on a, par* le théorème précédent,

aire AB.=: A'B\ cire. 01,

UTBB VII. — lis G0BP8 EOKDS. 299

et de même

aireBC = B'C .circ.OI, aire CD = CD'. cire. 01,

d'où, en ^joutant,

aire ABCD = ( A' B' -f- B' C -f- C D' ) . cire . 01 = cire. 0 1 . A' D'.

Fiff. a85.

THÉORÈME

489. L'aire d'une zone sphérique a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle.

Par définition, l'aire de la zone est la limite vers laquelle tend l'aire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur de la zone, lorsque le nombre des côtés de cette ligne brisée croît indéfiniment. D'après cela, soient S Taire de la zone, H sa hauteur, et R le rayon de l'arc générateur^ c'est-à-dire le rayon de la sphère à laquelle la zone appartient; soient de même s Taire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans Tore générateur, et a Tapoihème de cette ligne brisée. On a (488), puisque la projection de la ligne brisée sur Taxe est aussi égale à H,

Mais, lorsqu'on fait croître indéfîniment le nombre des côtés de la ligne brisée, H reste invariable, s tend vers S, et a vers R. On a donc, à la limite,

S = H.airR.

CoaOIJLAIBBS.

490. Dans des spbères égales, d'eux zones sont entre elles comme leurs hauteurs, et par suite deux zones de même hauteur sont équivalentes.

491. Considérons la calotte sphérique engendrée par l'arc AB tournant autour du diamètre AD {^g, 286). £n vertu du ibéo-

30O * GÉOMftTBIB DANS l'rSPAGB.

rème précédent, l'aire de celle caioiie a pour mesure

27r.A0.AC=îr.AD.AC ou (199) tt.Âb' .

Donc» ifite calotte sphénque quelconque équivaut au cercle dont le rayon est égal à la corde de Varc générateur de la calotte, «

Flff. 986.

THÉORÈME

492. Vaire de la sphère a pour mesure le produit de son diamètre par la circonférence d'un grand cercle»

Car celle aire peut être considérée comme celle d'une zone dont la hauteur est égale au diamètre de la sphère. D'ailleurs le raisonnement fait pour la zone s'applique textuellement à ce cas particulier.

GOROLIAIBBS.