Voici deux applications numériques
I ° Trouver, à moins d'un myriamètre carré, la surface du globe terrestre.
On sait, par la définilion du mètre, que la circonférence d'un grand cercle du glol)e renferme 40 millions de mètres ou
4000 myriamètres; son diamètre ost donc égal à et par
LIVBB TU. ~ LBB C0KP8 ftOMDS.
suite ( 493) Taire du globe est
à un myriamètre carré près.
1° L'aire d'une splièrc est i mètre carré; quel est son rayon? La formule
47rR'= f donne R= - i /- o»,282 à un millimètre près*
EXERCICES
1. Calculer en myriamètres carrés Taire de l'une des deux zones glaciales, sachant que le petit cercle qui lui sert de liase est à 3o' du pôle .
2. Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant ÂIB tel, que le rapport de la calotte sphérique qu*il détermine' i Taire latérale du cône qui a pour base le cercle AIB, et pour sommet le centre de la sphère, soit égal à m; discussion.
3. Inscrire dans une sphère un cône dont l'aire latérale soit équivalente i à celle de la calotte sphérique que sa base détermine.
4. Si Ton divise une demi-circonférence en trois parties égales et si on la fait tourner autour de son diamètre, la sone engendrée par l'arc du milieu est équivalente à la somme des zones engendrées par les deux arcs extrêmes.
8. Divise^ une aone en moyenne et extrême raison par un plan parallèle à ses bases.
6. Couper une sj)hère par un plan tel, que Taire de la section soit égale à la différence des deux zones que ce plan détermine.
7* La calotte interceptée par une sphère fixe sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toi^ours par son centre, a une aire con- \ stanle. — La zone interceptée par deux sphères fixes concentriques sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toii^ours par leur centre commun, a une aire constante.
8. Placer sur le cerde générateur d'une sphère Tare générateur d'une wne dont on connaît Tare et la hauteur.
9. Placer sur une sphère donnée une calotte sphérique dont Taire soit double de celle engendrée par la corde de Tare générateur de la calotte.
3oa - «ÉoaÉTMB dans l'sspacb.
Peocrahmb officiel : Fohane engendré par un triangle tour^ , nant autour d'un axe mené dans son plan par un de ses sommets. — Jpplicationau secteur polygonal régulier tour^ nant autour d'un axe mené dans son plan et par son cenrtre. — Folume du secteur sphérique, de la sphère.
DÉFINITIONS
496. Soient (fig'^^l) arABj le demi-cercle générateur d'une sphère et, dans ce demi-cercle, le secteur AOB dont la projection de la base AB sur xjr est ab. Pendant que la demi-
circonférence xABy engendre la surface sphérique» l'arc AB engendre une zone (486), et les rayons OA et OB qui limitent le secteur engendrent ( 440 ) les surfaces latérales de deux cônes de révolution ayant pour bases les cercles A a et B 6. La portion du volume de la sphère comprise entre les surfaces laté* raies de ces deux cdnes et la zone AB est le secteur sphérique correspondant au secteur circulaire AOB.
Un secteur sphérique est donc le volume engendré par la rotation d'un secteur circulaire autour d'un diamètre extérieur à sa surface; la zone engendrée par l'arc du secteur circulaire est la base du secteur sphérique.
THÉORÈBfE.
407. Lorsqu'un triangle tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par l'un de ses sommets sans traverser sa surface, il engendre un volume qui a pour mesure le produit de Vaire que décrit le côté opposé au sommet fixe, par le tiers de la hauteur relative à ce <Àté.
Soit le triangle ABC ayant son sommet A sur Taxe xjr et A£ pour hauteur relative à ce sommet : nous distinguerons trois cas.
UTll TII. — LBS G0BP8 RONDS, 3o3
Supposons Tun des côtés AB du triangle AB€ confondu avec Taxe ajr. Suivant que la hauteur CD qui correspond au côté AB tombe à Tintérieur (/g. 288) ou à l'extérieur
Fig.a88. F^.a89.
289) du triangle ABC, le volume engendré par ce triangle est la somme ou la différence des cônes engendrés par les triangles rectangles ACD, BCD.
En même temps, le cylindre engendré par la rotation du rectangle ABB' A', qui a même base et même hauteur que le triangle donné ABC, est la somme {Jig» 288) ou la différence des cylindres engendrés par la rotation des rectangles ADCA', BDCB', dont le rectangle ABB'A' est lui-même la somme ou la différence. D'ailleurs, le cône ACD est le tiers du cylindre ADCA', etle cône BCD le tiers du cylindre BDGB' (4&3). Donc, dans Tun et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est le tiers du cylindre ABB' A% et Ton a
vol . ABC = i . AB = j TT CD . BC . AE.
En effet, CD . AB = BC . AE, car ces produits représentent tous deux le double de Taire du triangle donné. Or, ft.CD.BG ex« prime ( Taire latérale du cône BCD ou Taire de la surface engendrée par le côté BC dans la rotation du triangle ABC. Par suite,
vol,ABC=aireBC.^.
2« Supposons Uig. 290) que, le tàté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur Taxe ay^, le côté BC prolongé vienne rencontrer Taxe au point D.
Le triangle ABC étant la différence des triangles ACD, ABD, le volume qu'il engendre est la différence des volumes engen-
3o4 GfiOMÉTAU DAKS l' ESPACE.
drés par ces triangles. On aura donc ( t*>)
vol . ABC = ( aire DG - aire DB ) ^ = aire BG . ^ <
Fig.a90.
3* Supposons enfin que le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur Taxe xy, le cdté BG soit parallèle à cet
axe.
Le volume engendré par le triangle ABG est la somme {//^. 291) ou la dilïérence (^g. 292 ) des volumes engendrés
Fig. agi. Fig.399.
par les triangles ABE, ACE. Or, le volume engendré par le triangle ABE est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle AB'B£» et le volume engendré parle triangle ACE les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle AC'GE (4^). Donc, dans l'un et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABG est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle B'G'GB, somme {Jig. 291) ou différence {f g. 292) des rectangles AB'BE, ACCE; et Ton a encore
vol.ABG = I ttÂÊ' .BG=aire BC.
27r.AE.BC exprime en effet l'aire latérale du cylindre engendré par le rectangle B'C/CB ou l'aire de la surface décrite par le côté BC de ce rectangle.
THÉORÈME
498. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d* un diamètre extérieur à sa iurface^ a pour
UVM VII. — IBS COKPS RONDS. 3o5
mesure le produit île l'aire que (h^crit la ligne brisée qui lui sert de base, par le tiers de l'apothème de celle ligne brisée,
Fig. 393.
Soit ifig. 293) le secteur polygonal régulier (2G8) OABCD, tournant autour du diamètre xjr» Décomposons ce secteur en
triangles, en joignant au centre 0 les sommets de sa base ADCI), el appelons a l'apothème de celle base. Le volume engendré parle secieur sera la somme des volumes engendrés par les triangles qui le consiiiuent. Or ( 497 )
vol.AOB = aireAB.|.
T0l.B0C=aireBC.|9
vol.œD = aîreCD.|.
£n ajoutant ces égalités membre à membre, il vient
Tol.OABGD =(aire AB + aireBG + aire CD). |,
ou
vol.OABCD = aire AB€D. ^.
THÉORÈME
499. Le volume d'un secteur sphérique a pour mesure le produit de l'aire de la zone qui lui sert de base par le tiers du roroA de la sphère»
Le volume d'un secteur sphérique est la limite des volumes
engendrés par les secteurs polygonaux réguliers inscrits dans le secteur circulaire correspondant, quand on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de leurs bases. D'après cela, soient v le volume engendré par un secteur polygonal régulier
3o6 GÉOMftTBU DA1I8 L'ISFACB.
inscrit, 5 l'aire de la smfiice décrite par sa base, a son apothème; soient de même V le volume du secteur sphérique, S l'aire de la zone qui lui sert de base, K le rayon de la sphère. On a (498)
Mais lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la base du secteur polygonal, v tend vers Y, s vers S et a vers R. On a donc, à la limite,
COROLLAIBB.
500. Dans des sphères égales, deux secteurs sphériques sont entre eux comme les zones qui leur servent de bases et, par suite, doux secteurs sphériques dont les bases ont même hauteur sont équivalents.
THÉORÈME
501. Le volume de la sphère a pour mesure le produit de son aire par le tiers du ray on.
Car ce volume peut être considéré comme celui d'un secteur sphérique ayant pour secteur circulaire correspondant un demi-cercle ou pour base l'aire de la surface sphérique ellemême. D'ailleurs, le raisonnement fait pour le secteur sphé- « rique s'applique textuellement à ce cas particulier.
COROLLAIBBS.
502. V étant le volume d'une sphère de rayon K ou de diamètre D, on a
V = 47rR>.| = 1 7rR»= g7rD«.
503. Les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes des rayons ou des diamètres,
