Inscrire un décagone régulier dans un cercle donné

Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en dix parties égales par les points A, B, G, D, £, F, G, H, K, I*

. En joignant les points de division consécutifs, on obtient le décagone régulier convexe ABCDEFGHKI; en joignant les points de division de trois en trois, on obtient le dé eu go ne ré* guller étoilé ADGIGFKBEH (520). H s'agit de construire les côtés AB et AD de ces deux décagones.

Or, en remarquant {Jig. 3o3) que le rayon BO prolongé passe par le sommet G, on voit que l'angle AMB, dont le sommet est à l'intérieur du cercle, a pour mesure la moitié de l'arc AB, plus la moitié de l'arc GD, c'est-à-dire deux divisions de la

326 * COHPLtMBIfT.

circonférence. D'ailleurs, l'angle inscrit ABG a pour mesure la moitié de l'arc AG, c'esi-à-dire encore deux divisions; l'angle

Fig.3oa. Fig.3o3.

au centre BOI) a aussi cette même mesure. Les deux triangles AMB, DM0, sont donc isocèles, et l'on a

ÂM = AB, MDrrOD ou AD^Alf=:OD.

D'un autre côté, les angles OMA, DO A, étant égaux comme ayant l'un ei l'autre pour mesure trois divisions, les droites OM et OD sont antiparallèles par rapport à l'angle OAD, et l'on a (197)

ad.am=oa\

Les deux relations précédentes montrent que la recherche des côtés AD et AM=AB revient à celle de deux lignes dont la différence est égale au rayon et dont le produit est égal au carré du rayon ; on obtiendra donc ces deux côtés (521) en dwisant le re^n en moyenne et extrême raison f le plus grand seg^ ment additif sera le côté du décagone régulier convexe, et le plus petit segment soustractif sera le côté du décagone régu^ lier étoilé. Si R est le rayon du cercle, on aura (522)

AB = R.i^ et AD = B.i^.

Corollaires.

La circonférence étant divisée en dix parties égales, en joip:nant les poinis de division de deux en deux, on obtient le pentagone régulier convexe ACEGK; en les joignant de quatre en quatre, on trace le pentagone régulier éioilé AEkGG {^g. 3o4),

Pour calculer les côtés Fl) ci FB (^^. 3o5) du pentagone régulier convexe et du pentagone étoilé» il suffit de remarquer

Fig. 3o4. flg. 3o5.

que, si l'on mène le diamètre FA, les cordes AD et AB sont les côtés du décagone étoile et du décagone convexe. Or les triangles rectangles FAD, FAB, donnent

FD= V'4K'— ÂD , FB= V^41V-Âb';

d'où, en remplaçant AD et AB par leurs valeurs données au numéro qui précède, et réduisant,

FD=5 v'io— FB = 5 v^io4-2V5.

525. Du décagone convexe, on passe au polygone régulier de 20 côtés, puis à celui de 4^,..., et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone précédent.

PROBLÈMB.

536. Inscrire un pentédécagone régulier dans un cercle donné [fig* 3o6).

Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en quinze parties égales par les points A, B» D, Ë,

En joignant les points de division de i en i, de 2 en 2, de 4

en 4> de 7 en 7, on obtient les côtés AB, AO, AE, AI, du pentédécagone convexe et des trois pentédécagones éloilés.

Considérons les cotés AB et A£; Q étant le milieu de Tare CD, on a

328 GOMPLÉKBNT.

Donc, pour construire AB ei AE, il suffit de porter, à partir du point A, une corde AQ égale au côté de l'hexagone, puis à partir de Q, et de part et d'autre de ce point, une corde QB = Q£ égale au côté du décagone convexe.

Pour calculer AB et AE, abaissons du point Q les perpendiculaires QS et QT sur ces côtés; l'égalité des triangles rectangles QAS et QAT, qui ont l'hypoténuse commune et un angle aigu égal QAS=:QAT, donne