IV

Prograhvb ofpicibi. : Calcul du rapport de la circonférence au diamètre par la méthode des isopérimètres»

528. De nos jours, les Mathématiques supérieures fournissent des séries qui permettent de calculer très-rapidement le rapport de la circonférence au diamètre. Il est cependant, utile de connaître les ressources que la Géométrie élémentaire offre à cet égard.

Les formules

dans lesquelles C et S désignent la circonférence et l'aire du cercle de rayon R, montrent que, pour avoir r, on peut:

Se donner le rayon K et calculer» soit la longueur C de la circonférence, soit l'aire S du cercle ;

33o COMPLÉMENT,

Ou se donner, soit la circonférence G, soit l'aire S, et calculer le rayon R.

De là quatre méthodes qui, présentées convenablement,

conduisent toutes à ce théorème remarquable :

Le nombre - est la limite vers laquelle tend la suite des

nombres obtenus en partant de o et et prenant alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre le» deux qui précèdent»

Nous allons démontrer ce théorème en suivant la troisième des quatre méthodes indiquées ci-dessus; cette méthode, dite des isopérimètres, est celle qui conduit le plus directement à la proposition précédente. Elle est fondée sur le problème suivant :

PROBLÈME

529. Étant donnés le rayon r et l'apothème a d'un polygone régulier, calculer le rayon r' et l'apothème a' du polygone régulier qui aurait le même périmètre et un nombre de côtés double I fig, 307 )•

ng. 307.

Soient AB le côté et O le centre du polygone donnée en menant le rayon OGG perpendiculaire sur AB, on aura

OC = r, 06 = «.

Tirons CA et CB, et joignons les milieux D et £ de ces deux cordes. La droite D£, parallèle à AB et égale à sa moitié, sera le côté du polygone régulier qui a même périmètre et deux fols plus de côtés que le premier. D'ailleurs, l'angle DOE étant la moitié de l'angle au centre AOB du polygone primitif, le point 0 sera encore le centre du nouveau polygone, et l'on aura

OD = r', 0¥ = a\

Or, le point F est le milieu de CG; donc (i) 0F= -(OG-hOC) oa a' = i(a-4-r).

De plus» le triangle rectangle ODC donne (198)

(a) ÔÎ)=OC.OF ou r'=^7:iP.

Les relations (i) et (2) résoWent le problème proposé; la première penpet de calculera ; puis» 4i' étant connu, la seconde donne r'.

ScouB.

530. On voit sur la Ggure que OF est plus grand que OG et que OD est moindre que OC. Donc» quand on passe d'un po~ lygqne régulier au polygone régulier isopérimètre (tun nombre de edtês double y l'apothème augmente et le rayon diminue, de

sorte que la différence entre le rayon et l'apcihème va en décroissant. Le triangle AOG montre que cette différence OA — OG est moindre que AG, c'est-à-dire que la moitié du côté du polygone correspondant; or, le périmètre du polygone restant constant, la valeur de chacun des cotés tend vers zéro lorsqu'on double leur nombre indéfiniment; donc Vexcès du rayon sur l'apothème peut devenir aussi petit qu'on veut.

PUOBLÈME.