Calculer le rapport de la circonférence au diamètre
Prenons la circonférence G égale à 2; la formule 7; = — r
au
donne alors
îT == 5. ou - = U.
Le nombre - est donc la valeur du rayon de la circonférence
tr
égale à ?.. Par suite, rupoilu nie a et le rayon r de tout polygone régulier ayant un périiuèlre égal à 2, sont deux valeurs
a];j)[>rochées de -9 Tune par défaut» l'autre par excès; car» la
circonférence inscrite et la circonférence circonscrite à un tel polygone étant Tune moindre» l'autre plus grande que a» leurs
332 r.OMPLf: MF.NT.
rayons a et r doiveni comprendre le rayon R de la circonférence égale à 2 (237), c'est-à-dire le nombre
Cela posé, considérons le carré dont le côté est ^ \ son périmètre est 2, son apothème «i — ^ cl son rayon ri = ^y2. Puis, à l'aide des formules (529),
calculons successivement les rayons et les apothèmes Ot et r„ 0» et r„ a« et r4,... des polygones réguliers isopérimèlres de 8, 16, 32,. . côtés. Dans la série
ûi» Ti, <hf r», ^3, ri,,.,, Aj,, Ta,...,
dont cha(|ue ternie à partir du troisième est ultcrnalivemenl moyen arithmétique et moyen {,H''onu'nri(îue entre les deux qui précèdent, les termes de rangs impairs ai, a^, ^a,..., .
vont en croissant et restent inférieurs à tandis que les termes de rangs pairs ri, rs, r»,..., r.,..., vont en décroissant (530} et restent supérieurs à P'ailleurs, on sait (530)
que la différence — a* peut être rendue moindre que toute quantité donnée en prenant n assez grand; donc les termes de la suite
A, Ot, Tt, fls» ''s»
alternativement inférieurs et supérieurs au nombre ^) ont ce nombre pour limite.
Si l'on remarque en outre que = ^ moyenne arithmétique entre o et ^1 et que r, = ^ est la moyenne géométrique entre ^ et ^9 on arrive à la proposition annoncée (528) :
Le nombre ^ est la limite vert laquelle tend la suite des nom-*
bres obtenus en partant de o et et prenant alternativement
la mojrenne arithmétique et la moxenne géométrique entre let deux qui précèdent»
En prolongeant le calcul de ces moyennes juscju M ce que deux termes consécutifs aient m h- i décimales communes,
on aura - à moins d'une unité décimale de Tordre m h- i, et
par suite, en divisant i par le nombre ainsi trouvé, on aura t: à moins d'une unité du m'*"" ordre décimal. Car si l'on désigne respectivement par e' et e les erreurs correspondantes de ir et
de -, on é, en négligeant le produit Tree',
e! = tt' €, d'où €f <Cio€»
Voici le tableau des calculs jusqu'au polygone de 128 côtés :
Nombre de» côtés.
Apothème».
Rayons.
<li =:0,2500000
<Ij z=: 0,3 180542
On trouve ainsi pour - la valeur o,3i8 à moins d'un mll> *
lième, et même o,3i83 à moins d'un dix-millième; par suite, en divisant l'unité par ce dernier nombre, on obtient pour n la valeur 3,i4^ à moins d'un millième.
Nous indiqoMrons, pour les élèves de mathématiques spéciales, quelques iéveloppemaits nonveaiix qui permettait d'abréger beaucoup les calculs. La limite vers laquelle tend la suite des nombres obtenus en partant de et
de et prenant successiTement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux qui précèdent, est une fonction homogène de et de r^^; car, si l'on multiplie fi^ et /-^ par ), on voit par la formule (i) du 531 que tous les termes de la suite a^,, r^,, a^^,, ^k^t*'"* ^^'^ ^^^^ limite, sont multipliés
pur X, La quantité ~ est donc égale an produit de par une fonction de ^{
de sorte que, si l'on pose
(a) Ii = i^u,
334 COMPLÉAIEM.
et si on développe en série la fonction de on e
(3) 1 isa^(AH-Bit-hC«*-H..O
PourAssjao» a. tend vers veni, et par eoite « ven léro, de sorte que
la relation précédente devient
— &s-«A, uou A = i.
Ponr déterminer le» autres coeiDciento B, G,..', nous observerons que, si Ton pose
on a» de même,
(5) i = «^,(A-|.B«'-hC«'*-i-...).
Or les relations (i), (a), (4) donnent
et eu portant ces valeurs dans (5), puis comparant les coeflicients des mêmes puissances de m dans (5 ) et (3), on trouve
Ou a donc
et par suite, d'après une propriété connue des séries à termes alternativemeut positifs et négatifs,
avec une erreur moindre que
— on que —
Supposons A asses grand pour que cette dernière quantité soit moindre que
l — , et désignons par a et <» des valeurs approchées de «l et de r. k moins
dej-J^; ^ diiférant de j («j-har^) de moins de j^^» et cette dernière
quantité diflerant à son tour de ^ {«.-*• à p) de moins de ^ on a, à
moins de -^9
COMPLfiMENT. 335
De là ce théorème • Si Toff prend k asses grand ponr que la quantité
soit inoindre que ^ ^'^^ , et si a, et p sont des valeurs approchées de a^ et de r^ à moins de — , f expression
est une valeur amprochée de - à moins de — — •
Par exemple, en •'arrêtant an polygone de 64 câtés, on a, d'après le tableau précédent,
