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Programme officiel : Angles trièdres. — Cas d'égalité et de symétrie. — Propriétés de l'angle trièdre supplémentaire. — Limites de la somme des angles dièdres d'un trièdre. — Analogies et différences entre les angles trièdres et les triangles rectilignes,

HOTIONS PlÉUmNAllBS.

533. Nous avons, dans le § V du livre V, défini les angles trièdres el polyèdres, les angles polyèdres symétriques, et démontré les deux théorèmes suivants :

Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est moindre ' que la somme des autres.

Dans tout angle polyèdre convexe, la somme des faces est moindre que quatre angles droits.

Nous allons compléter ici l'étade des trièdres; mais avant d'aborder de nouvelles propriétés, il importe de revenir sur les trièdres symétriques et d'exposer quelques conséquences

fondamentales des deux propositions que nous venons, de rappeler.

534. Considérons deux angles irièdres symétriques SÂBG, SA'B'C 3o8), et supposons, pour fixer les idées, que l'arête SC soit en avant du plan ÂSB, et, par suite, que son prolongement 8C' soit en arrière du même plan.

Fig. 3o8. Plg-Sog. Fig. 3io.

Menons [fig. 3og) la bisseclrice :rSr de l'angle BS.V, et autour de celle droite, qui est située dans le plan ASB, faisons tourner le trièdre SA'B'C de i8o degrés dans le sens de la Ûècbe <p. L'arête SA' s'appliquera sur SB, l'arête SB' sur SA, et par suite la face A' SB' coïncidera avec BSA. De plus, l'arêie SC viendra bien en avant du plan ASB; mais la nouvelle position SC| de cette arête différera en général de SC ; car les dièdres suivant SA et SB étant en générai inégaux, il en sera de même des dièdres SB et SA', et par suite les plans CSB et Ci SB, éunt inégalement inclinés sur le plan ASB, ne coïncideront pas.

On voit cependant que la coïncidence aurait lieu si le trièdre SABC avait les deux angles dièdres SA et SB égaux entre eux. Car, dans cette hypothèse, les plans C.SB et CSB seraient également inclinés sur le plan ASB; ils tomberaient donc l'un sur l'autre; il en serait de même des plans C,SA et CSA, et par suite les arêtes SC etSCi se confondraient. Observons d'ailleurs que la face CSA', qui est égale à ASC, s'applique alors sur CSB, de sorie que l'égalité des deux angles dièdres SA et SB entraîne celle des faces CSB et CSA. Donc, en résumé, pour qu'un trièdre soit superposable à son symétrique, il faut et il suffit que ce trièdre ait deux angles dièdres égaux f et dans un tel trièdre» les faces opposées aux dièdres égaux sont égaies.

conpiAMniT. 337

535. Dans tout angle trièdre, à un plus grand angle dièdre est opposée une plus grande face,

Soii {fg. 3io ) le trièdre SABC dans lequel Tangle dièdre SC est plus grand que l'angle dièdre SB. On pourra mener dans le dièdre SC et par l'arête SC un plan CSD qui fasse, avec le plan CSB, un angle dièdre égal au dièdre SB. Le trièdre SBCD ayant deux dièdres égaux, les faces BSD, CSI), opposées à cesangles, seront égales (534). Or le trièdre SACD (353) donne

ASC < ASD -f- DSC ;

on aura donc, en remplaçant la face DSC par son égale DSB,

ASC<ASD-|-DSB ou ASC<ASB.

£n rapprochant ce théorème de celui qui a été démontré au dernier alinéa du n° 534, et en raisonnant comme au n° 36, on verra que : RÉcipaoQUEMEiHT, «1 un angle trièdre a deux faces égales, les dièdres opposés à ces faces sont égaux, et si un an§^ trièdre a deux faces inégales, à la plus grande face est opposé le plus grand dièdre.

536. Il résulte des deux théorèmes rappelés au commencement de ce paragraphe que, pour qu'on puisse Cormcr un angle trièdre avec trois faces données, z7/aw/ que la plus grande face soit inférieure à la somme des deux autres , et que la somme des trois faces soit moindre que quatre angles droits. Nous allons prouver que ces deux conditions sont suffisantes.

Soient {fig. 3ii) ASB la plus grande face, et ASC, B C, les deux autres rabattues dans le plan de la première, de part et d'autre de celle-ci; SC et SC' sont les deux droites provenant . du dédoublement de la troisième arête. '

Décrivons du point S comme centre un arc de cercle CC'. de rayon arbitraire; cet arc sera moindre qu'une circonférence, puisque la somme des trois faces données est inférieure à quatre angles droits. Oc? et CV étant les cordes menées des points C et C perpendiculairement aux arêtes SA et SB, les arcs AG et Acsont égaux entre eux, ainsi que les arcs BC et 'Bc'-j par suite, la relation

. arc AB <; arc AC -+- arc BC,

qui exprime que la plus grande face ASB est Inférieure à la

somme des deux autres, peut s'écrire

arc AB <C arc A<? H- arc Bc';

elle montre que le point c tombe entre B et c', que & tombe entre c et A, et par conséquent que les deux cordes Ce etC'c' se croisent en un point 0 intérieur au cercle CC.

Fig. 3ii.

Élevons au point 0 la perpendiculaire OM au plan iiSB, et dans le plan DOM décrivons du point D comme centre, avec un rayon égal à BC, un arc de cercle qui coupera nécessairement la perpendiculaire OM, puisque OD est moindre que DC. M étant le point d'intersection , menons SM, le trièdre SÂBM sera formé avec les trois faces données. En effet, si Ton tire MB et ME , ces droites seront respectivement perpendiculaires sur SA et SB, en vertu du théorème d^s trois perpendiculaires; dès lors les deux triangles SBM, SBC, sont égaux comme ayant un angle droit compris entre deux cMés égaux chacun à chacun; on en conclut d'abord que la face ASM est égale à la face donnée ASC, et que l'arête SM est égale à SC. Les deux triangles rectangles SME, SC'E, ont donc l'hypoténuse égale et un côté commun, et leur égalité prouve que la face MSB est égale à l'autre face donnée BSC.

THÉORÈME

$37. Si un angle trièdre SA'B'C est lé trièdre Mupplémenr' taire d*un angle trièdre donné SABC, réciproquement SXBC sera le trièdre supplémentaire de SA' lî'C [fig- 3i2 ).

Pour bien comprendre la définition du trièdre supplémentaire et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque. Par un point 0 d'un plan P, menons une perpendiculaire M à ce plan et une oblique ON. Si les deux droites OM et ON sont d'un même côté du plan P, l'angle MON qu'elles forment est aigu {fig, 3ia ), car il est compris dans l'un des angles droits MOT ou MOT' que fait la perpendiculaire OM

avec la trace TOT' du plan MON sur le plan P. Si les doux droites OAÎ et ON sont situées de part et d'autre du plan P, l'angle MON est obtus [fig. 3i3), car il contienl Tun des an-

Fig.3i3.

Fig. 3i3.

Vf

Fig.3i4.

gles MOT ou MOT'. Donc, réciproquement, suivant que l'angle MON est aigu ou obtus, on peut aftirmer que la perpendiculaire OM et l'oblique ON sont d'un même côté du plan P ou de part et d'autre de ce plan,

Cela posé, on nomme trièdre supplémentaire d'un trièdre SABC ijig. 3i4) un nouveau trièdre SA'B'C formé de la manière suivante :

Par le sommet S, on élève une perpendiculaire SG' à la^face ASB, du même côté que 8G par rapport au plan de cette face; on mène SB' perpendiculaire à la face ÂSC, du même côté que SB par rapport au plan ASC, et l'on trace enfin SA' perpendiculaire à la face RSG et du même côté que SA par rapport au plan BSG.

11 s'agit maintenant de démontrer que le trièdre SABC résulte du trièdre SA'B'C, comme celui-ci du premier; ou, en d'autres termes, que l'arête SC, par exemple, est perpendiculaire à la face ^'SB' et du même côté que SC par rapport au plan de cette face. Or, par hypothèse, SA' est perpendiculaire au plan CSB et par suite à SC; de même, SB' est perpendiculaire à^; donc SC esi perpendiculaire au plan A'SB'. De plus, se ayant été mené perpendiculairement au plan ASB et du côté de SC, l'angle CSC' est aigu ; par suite» la perpendiculaire SC au plan A'SB' et l'oblique SC formant un angle aigu» ces deux droites sont situées d'un même côté par rapport à ce plan A'SB'.

THÉORÈME

sas. Si SABC et SA'B' C sont deux tnèdres supplémentaires, chaque angle dièdre dè l'un de ces trièdres est le supplément de la face opposée dans Vautre trièdre {Jig, 3 14 ).

34o COMPL£MË^T•

La démonstration est fondée sur la remarque suivante : Lorsque, par un point 0 pris sur t arête d'un angle dièdre 01, on élève sur la f axe lOA une perpendiculaire OA' du même côté du plan lOA que la face lOB, et sur la face lOB une pen^ pendiculaire OB' dit même côté du plan lOB que la face lOA» r angle A' OB' est le supplément de fangle plan AOB qui mesure le dièdre 01 {fg. 3i5 et 3i6}.

Fig. 3i4. Fig.3i5. Fig. 3i6.

Les quatre droites OA, OB, OA', OB', sont dans le plan perpendiculaire à 01 mené par 0 (319); d'ailleurs, OA' perpendiculaire au plan lOA doit être perpendiculaire à OA, et de même OB' doit être perpendiculaire sur OB; les angles AOB, A' OB', sont donc deux angles situés dans un même plan et ayant leurs côtés perpendiculaires chacun i chacun; pour prouver qu'ils sont supplémeptaires, il suffit (70) de prouver qu'ils sont toujours d'espèce différente, c'est-à-dire l'un aigu, l'autre obtus. Or cela résulte de la direction que l'énoncé impose aux perpendiculaires OA' et OB'. En effet, si l'angle AOB est aigu (fig. 3 1 5), l'angle A' OB' renferme l'angle droit AOA' et, par suite, est obtus ; si l'angle AOB estobtus {fig. 3i6), l'angle A'OB' est contenu dans Tangle droit AOA' et, par suite, est aigu.

Cela posé, revenons aux trièdres supplémentaires SABC, SA'B'C {Jîg. 3i4), et considérons, par exemple, le dièctre SC. La droite SB' est une perpendirulaire à la face CSA de ce dièdre du coté de SB, et par suite du rûlé de l'autre face CSB; de même, SA' est une perpendiculaire à la face CSB du dièdre, du côté de la face CSA; donc, l'angle A'SB' est le supplément de l'angle qui mesure le dièdre SC ou, plus brièvement, le supplément du dièdre SC. On procéderait de même pour les dièdres SA et SB.

Puisque les deux trièdres SABC, SA'fi'C, se déduisent l'un de l'autre par la- même construction (537), il est clair que la

COHt^LtMKNT. 3^1

propriété qui vient d'être établie pour les dièdres du premier s'étend aux dièdres du second. D'ailleurs» la démonstration serait la même.

C'est en raison de cette double propriété que les deuxtrièdres ont été appelés supplémentaires,.

SCOLIE

539. Désignons par a, 6, les nombres qui mesurent les fiices, ei par A, B, G, les nombres qui mesurent les angles dièdres d'un angle Irlèdre, Tangle droit étant pris pour unité d'angle. Les nombres af, l/, e*, qui mesureront les faces, et ceux A% B^, C, qui mesureront les dièdres du trièdre supplémentaire, seront donnés par les formules

if = 1 — A, A' = 2 — a,

Si donc on connaît une propriété quelconque d'un angle trièdre, c'est-à-diré une relation entre les éléments a, b, e. A» de cette figure, en appliquant cette relation aux éléments a'» 6% cf, Af, B', Q, du trièdre supplémentaire, puis en remplaçant ces éléments par leurs valeurs tirées des formules précédentes, on aura une relation nouvelle entre a, b, A, B, G> c'est-à-dire une nouvelle propriété du trièdre primitif.

De mên^e» toute propriété relative à plusieurs trièdres conduira, par la considération des trièdres supplémentaires des proposés, à une propriété nouvelle de ee système de trièdres.

On conçoit par là l'importance du théorème précédent; Voici d'ailleurs quelques applications de la méthode générale que nous venons d'indiquer.

540. Nous avons vu (354) que la somme des faces d'un trièdre était toujours comprise entre zéro et quatre angles droits. Cherchons le théorème correspondant, ou, comme on dit, le théorème corrélatif. Considérons à cet effet le trièdre supplémentaire du proposé ; a', ^, c', étant ses faces, on a

Par suite A, B, C, étant les dièdres du trièdre proposé, on a o<(2 — A)-f-(2 — B)-h(a — C)<4, •

ou

COMPLfiMSHT.

Ainsi, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre, la somme des angles dièdres est comprise entre deux droits et six droits.

Nous avons vu encore (353) que dans tout trièdre ia plus grande face est moindre que la somme des deux autres. Quel est le théorème corrélatif?

Soient a', b', d y les faces du trièdre supplémentaire du trièdre considéré, d étant la plus grande, on a

par suite» si A» B, G, sont les dièdres du trièdre proposé, on aura

2 — A<(a— B)-h(a — C), ou A-l-a>B-hC.

D'ailleurs, le supplcmcMii d'un angle diminuant quand cet angle augmente, A doit être le plus petit des dièdres A, B, G, puisque o! est la plus grande des faces a', h' , c' . Donc enfin la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre ^ le plus petit mgle dièdre, augmenté de deux droits, €st plut grand que la somme des deux autres,

541. £n résumé (540), pour qu'on puisse former un angle trièdre avec trois dièdres donnés A, fi. G, il faut que leur somme soit comprise entre deux droits et six droits, et que le plus petit augmenté de deux droits soit supérieur à la somme des deux autres.

Ces conditions sont suffisantes; car, quand elles sont remplies, les suppléments a', 6', c^, des angles donnés A, B, G, satisfont aux deux conditions du n* 536. On peut donc, avec les trois faces a\ b', c\ construire un trièdre; par suite, en construisant le trièdre supplémentaire de celui-là, on aura un trièdre dunl les dièdres seront les aii^^les donnés A, B,C.

THÉORÈME