Deux angles tnèdres sont égaux

I* Lorsqu'ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et senûtlMement disposés; 1° Lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux

faces égales chacune à chacune et semblablement disposées;

3° Lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées

GOHPLÉIIENT. ^^

4** Lorsqu'ils ont leurs angles dièdres égaux chacun à ctiacun et semblablement disposés.

!• Soient les deux irièdres SABC ei S'A' B' {fig. 817 ), Par hypothèse, la iàce ASB est égale à la face AfSfB', les angles dièdres SA et S'A' sont égaux entre eux, ainsi que les dièdres SB et S^B'. On suppose en outre que la disposition est la même, c'est-è-dire que si un observateur dont la téte est en ' S, le dos appuyé sur la face ASB, et le regard dirigé vers SC, a l'arête SA à sa gauche et Tarète SB à sa droite, un autre ob^ servateur, dont la tête serait en S', le dos appuyé sur la face A'S'B' ei le regard dirigé vers S'C, aurait l'arêle S' A' à sa gauche et l'arête S'B' à sa droite.

Fig. 317.

Dans ces conditions, les deux trièdres sont égaux, c'est-à-dire superposables. En effet, si Ton place la face A' S'B' sur son égale ASB, de façon que S'A' coïncide avec SA et S'B' avec SB, Tarête S' G' tombe, par rapport au plan ASB, du même côté que SG, sans quoi la disposition des éléments serait dif* férente dans les deux trièdres. Alors, les dièdres SA et S'A' étant égaux, le plan A' S' G' s'applique sur le plan ASG; de même, les dièdres SB et S'B' étant égaux, le plan B'S'G' s'applique sur le plan BSG ; donc enfin les arêtes S' C et SC se confondeni et les deux irièdres coïncident.

2° Le second cas résulte du précédent, dont il est corrélatif (540). En effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont une face égale adjacente à deux dièdres respectivement égaux et bemblablcment disposés; ils sont donc superposables, et par suite il en est de même des trièdres primitifs.

D'ailleurs , la démonstration directe n'offre aucune difficulté; on voit, par un raisonnement analogue au précédent ( 1°), que la superposition est possible, si, conformément à l'hypo* thèse, la disposition des éléments est la même.

Pour le troisième cas, on pourrait suivre une marche ideo>

tique à celle de la Géométrie plane, c'est-à-dire démontrer ce théorème comme celui du n^SS (3"), en passant par les propositions qui sont les analogues de celle des n"* 32 el 33 (a**)* Voici une démonstration directe :

Soient SABG et S'A'B'C les deux trièdres; il suffit évidemment de démontrer l'égalité de deux dièdres homologues, des dièdres SA etS^A', par exemple.

Supposons d'abord que les deux faces ASB, ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient deux angles aigus. En un point quelconque 0 de Taréte SA, formons {fig. 3i8) l'angle plan correspondant à Tangie dièdre SA ; en d'autres termes, élevons par le point 0 des perpendiculaires sur SA dans les plans ASB et

Fig. 3i8.

ASC ; les angles ASB et ASC étant aigus, ces perpendiculaires rencontreront les arêtes SB ei SG en deux points M et N que nous joindrons par une ligne droite. Prenons S'O' = SO et construisons de même en 0' Tangle plan M'O'N' du dièdre S'A'. Il s'agit de démontrer l'égalité des deux angles plans MON et M'O'N^ Or les deux triangles rectangles SOM. S'O'M', sont égaux comme ayant un côté égal adjacent è deux angles égaux: il en est de même des triangles* SON et S^O'N'; par suite, les deux triangles SMN, S'M'N', ont un angle ég»l compris entre deu^ côtés égaux, et enfin les deux triangles OMN, O'Bi'N', ont les trois côtés égaux chacun à chacun. L'égalité de ces derniers triangles entraîne celle des deux angles MON, M'O'N'.

Supposons en second lieu que les deux angles ASB et ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient quelconques, et prenons six longueurs égales SA = SB = SC = S' A' = S' B' = S' G', à partir des sommets sur les arêtes des deux trièdres {/ig. 3 19).

Les triangles isocèles ASB et A'S'B', BSC et B'S'C, CSA et C'S'A', sont égaux deux à deux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; par suite, les triangles ABC,

A'B'C, sont égaux comme ayant les trois cotés égaux chacun à cbacuD. D'après cela, les deux trièdres À et A' ont leurs

Fig. 3io.

faces respectivemieiit égales ; d'ailleurs les angles SA6, SAC» qui comprenent le dièdre AS, sont aigus comme angles à la base de triangles isocèles; donc, en vertu du raisonnement fait dans l'alinéa précédent, le dièdre AS est égal au dièdre A'S'.

4° Le dernier cas résulte du précédent dont il est le corrélatif. En effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont leurs faces respectivement égales et semblablemcnt disposées ; ils sont donc supcrposables, et par suite il en est de même des trièdres primitifs.

SOOLIE.

5^3. Si, dans chacun des quatre cas examinés, la disposition des éléments égaux était différente dans les deux trièdres, il n'y aurait plus égalité, mais seulement syméirie. En effet, soient T et T les deux trièdres proposés, et Ti le symétrique de T, c'est-à-dire celui qu'on déduit de T en prolongeant ses arêtes au delà du sommet. Les trièdres T et T, ont leurs éléments égaux et inversement disposés ; par suite, comme T et V remplissent par hypothèse toutes les conditions de Tun des cas d'égalité sauf celle relative à la disposition des parties égales, les trièdres T et ï, satisferont à toutes les conditions de ce cas d'égalité; ils seront donc superposables; d'où l'on voit que T est superposablc au symétrique de T'.

5^4. Nous avons suffisamment signalé dans le courant de ce paragraphe l'analogie entre certaines propriétés des trièdres et des triangles rectilignes. 11 importe toutefois d'observer en terminant que si, à toute propriété des triangles répond une propriété des trièdres, la réciproque n'est pas vraie ; par exemple, tandis que l'égalité des angles dièdres de deux trièdres entraîne l'égalité de leurs faces, l'égalité des angles de deux triangles n'entratne que la proportionnalité des côtés.

346 ^ COHPLÉMEKT.