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Programme officiel : De la symétrie dans les polyèdres ; plan de symétrie; centre de symétrie. — Comparaison des faces, des angles dièdres, des angles polyèdres homologues de deux polyèdres ^/métriques. — Équivedence de leurs volumes,

DÉFINITIONS

545. Deux points A el A' sont symétriques par rapport à un centre 0, lorsque ce centre 0 est le milieu de la droite AA'

{Jîg. 320).

Deux points A et A' sont symétriques par rapport à un axe xyijig. 32 1), ou à un plan P [fig. 322), lorsque cet axe ou ce plan est perpendiculaire au milieu de la droite ÀA'.

Fig. 3ao. Fig. 32i. Fig. 3aa.

Deux figures sont symétriques par rapport à un centre, à un axe ou à un plan, lorsque leurs points sont deux à deux symétriques par rapport à ce centre, à cet axe ou à ce plan. Les points symétriques des deux figures sont dits homologues,

546. Deux figures symétriques , par rapport à un axe, sont égales. Car une rotation de 180 degrés autour de l'axe, imprimée à l'une des deux ûgures, amène évidemment cette figure sur Pautre.

La symétrie, par rapport à un axe, n'offre donc rien de particulier. Aussi, dans la suite de ce paragraphe, ne sera-t-il question que de la symétrie relative à un point ou à un plan.

THÉORÈME

SW. Deux figures F' et ^métriques d'une même figure F petr rappàrt à deux centres différents 0' et (y, sont égales

ifig'^^^)r)'

(*) BaAVAis» Journal de Mathématiques, t«XIT.

Soient A un point quelconque de la figure F, A' son homologue dans ia figure F' et A'^ son homologue dans la figure F".

Fig.333.

0' étant le milieu de AA' et le milieu de AA", la droite A/A" est parallèle à O'O" et égale à 2 0'0". La ligure F'' n'est donc que la figure F' transportée parallèlement à la direction O'O'", d'une quantité égale à aO'CK,

Corollaire.

5^8. La position du centre de symétrie n'influe ni sur la forme ni même sur Vorientation de la figure symétrique d'une figure donnée.

THÉOBÈME.

5^p9. Si deux figures F et Y" sont symétriques par rapport à un plan P, on peut toujours les placer de telle sorte quelles soient symétriques par rapport à un centre 0' pris à volonté dans ce plan; el rcciproquemenl, si deux figures F et F' sont symétriques par rapport à un centre 0', on peut toujours les placer de telle sorte qu elles soient symétriques par rapport à \ un plan quelconque P passant par ce centre {fig. 323) (*). *

n suffit de faire tourner la figure F' dans le premier cas» la figure F' dans le second, de i8o degrés autour de la perpendiculaire O'CB élevée en O' au plan P.

En effet, considérons une figure F, un plan P, et un point quelconque 0' de ce plan; soient F' la figure symétrique de F par rapport au point 0', ei F" la ligure symétrique de F par rapport au plan P. Le théorème direct el sa réciproque seront démontrés à la fois, si l'on fait voir que les figures F' et F" sont symétriques par rapport à la perpendiculaire O'B élevée en 0' au plan P (54>6). Or, soient A, A', M\ trois points homo-

(*) BftATAM, Jounud de Uathénuuiçuet, t. XIV.

logues des figures F, F%F'', et le point oh la 'droite AA'' rencontre le plan P. (y étant le milieu de AA' et 0* le milieu de AA'f la droite A' A' est parallèle à O'O', et» par suite, per- ' pendiculaire sur CB. D'ailleurs, CB étant menée parallèlement à AA'' par le milieu de AA', pa6$e par le milieu C de A' A'^. Donc enfin, les points A' et A' sont symétriques par rapport à la droite O'B.

GoaOLLAIBES.

550. Deux figures symétriques d'une môme figure F, par ra{)pori à deux plans différents P et Q, ne sont autre chose, quant à \a forme, que la figure symétrique de F par rapport à un centre quelconque (547); elles sont donc supcrposables. Mais leur orientation dans l'espace n'est pas la même, à moins que les plans P et Q ne soient parallèles.

551. En résumé ( 547, 550 ), si l'on Tait abstraction de l'orientation pour n'avoir égard qu'à la forme, .on voit figure F

n'a qu'une seule figure symétrique. Toutes les figures obtenues en prenant la figure symétrique de F, par rapport à tel centre ou à tel plan qu'on veut, sont supcrposables.

SCOLIB.

552. Telle propriété de deux figures symétriques [Va^^] est plus ou moins aisée à démontrer, suivant que l'on considère la symétrie relative à un plan ou à un centre. Le théorème précédent (5V9) permet de choisir le mode de symétrie qui facilite le plus les raisonnements. C'est généralement la symétrie relative à un centre qui rend les démonstrations plus simples, parce qu'en déplaçant le centre de symétrie on n'altère pas même l'orientation de la figure symétrique* ( 548).

THÉORÈBfE.

'553. La figure sy métrique d^une ligne droite est une ligne droite.

Car, si l'on prend un point quelconque de la droite pour centre de symétrie, ce qui ne peut rien changer au résultat (548), on retrouve évidemment la droite elle-même pour figure symétrique.

COMPLtHBlT.

Corollaires.

554* La distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques.

Car, si l'on prend pour centre de symétrie le milieu de la droite qui joint les deux points, on voit que ces deux points ne font que s'échanger.

555. L'angle de deux droites est égal à tangle de leurs symétriques.

Car, en prenant pour centre de symétrie le sommet de cet angle, on voit que les droites Sfymétriques forment l'angle qui lai est opposé par le sommet.

SCOLIB.

556. Il importe de se Ûgurer nettement la situation de deux droites symétriques par rapport à un centre ou par rapport à un plan.

Fig. 3s4.

Soil AH [ flg. 324) une droite dont on veut la droite symétrique par rajiporl à un rentre donné 0'. Prenons d'abord la droite symétri(jue de ÂB par ra[)port à son milieu 0 : le point A , aura son symétrique en B, et le point B son symétrique en A; de sorte que Ja droite symétrique de AB, par rapport à son milieu 0 pris pour centre, sera BA, Dès lors, pour passer du centre 0 au centre 0', il suffira f 547) de faire décrire aux points B et A des droites BA' et AB' parallèles à 00' et doubles de 00'. On trouve ainsi, pour symétrique de AB, la droite A'B' parallèle à AB, de sens contraire, et située à la même distance du centre (y de symétrie»

Soit OA (Jig, 325 ) une droite dont on veut la droite symétrique par rapport à un plan P qu'elle rencontre en 0. En prenant d'abord la droite symétrique de OA par rapport au point 0, on trouve son prolongement 0A% et il suffit (549) de faire

35o COMPLÉMENT.

tourner OA' de 180 degrés autour de la perpendiculaire OB au plan P pour avoir la droite OA" demandée. On voii que les deux droiteê OA et OA.", ^métriques par rapport au plan P, $ont également inclinées sur ce plan, qu* elles rencontrent bailleurs au même point 0,

THÉORÈBIB.