La figure symétrique d'un plan est un plan

Car, si l'on prend un point du plan pour centre de symétrie» on retrouve évidemment le plan lui-même pour^Ggure symétrique.

Corollaires.

558. La figure symétrique d'un polygone plan est un polygone égal au premier.

D'abord, c'est un polygone plan (557); il est ensuite égal au premier, parce qu'il a ses côtés et sos angles égaux aux côtés homologues et aux angles homologues de ce polygone (554, 555).

559. L'angle de deux plans est égal à Van§^e de leurs sy^ métriques.

Car, en prenant pour centre de symétrie un point de l'arête de l'angle dièdre donne, on voit que les plans symf'iriques de ses faces forment le dièdre qui lui est opposé par l'arête.

SoouB.

560. Deux plans symétriques par rapport à un centre sont parallèles et équidislants de ce cenlre.

Deux plans symétriques par rapport à un plan sont également inclinés sur ce plan» qu'ils coupent d'ailleurs suivant la même droite.

THÉORÈME

501 . Deux polyèdres symétriques ont : 1° leurs faces égales chacune à chacune; 1^ leurs angles dièdres homologues égaux; 3" leurs angles polyèdres homologues symétriques ( 352 ).

I* L'égalité des faces homologues résulte du n<* 558.

2* L'égalité des angles dièdres homologues résulte du n'559.

OOHFLtMENT. 35l

3<* Pour montrer clairement la relation- qui existe entre un angle polyèdre A de la première figure P et l'angle polyèdrë homologue A' de la seconde figure P', il suffît de construire la

figure symétrique de P (551) en prenant pour centre de symétrie le sommet A du premier angle polyèdre. On voit ainsi que l'angle polyèdre A' est l'angle polyèdre opposé par le sommet à l'angle polyèdre A.

THÉORÈME

56S. Deux polyèdres ^métriques P et V sont équivalents.

Si l'on décompose le polyèdre P en tétraèdres, à chacun de ces tétraèdres répondra un tétraèdre symétrique, et l'ensemble de ces tétraèdres symétriques formera le polyèdre F. Deux polyèdres symétriques P et F étant d'après cela composés d'un même nombre de tétraèdres symétriques deux à deux, il suffît de démontrer que deux tétraèdres symétriques sont équivalents.

Or, soit [fig- 326) SABC un tétraèdre quelconque. Formons son symétrique SA'TVC par rapport au point S. Les triangles ABC, A'B'C sont égaux (558), et leurs plans sont équiidistanis du point S (560). Par suite, les deux tétraèdres SABC, SA'B'C, ayant des bases et des hauteurs égales, sont équivalents.

Fig. 336.

ScOtlB.

563. Les deux prismes dans lescjucls un paralléiipipède est décomposé par mu plan diagonal ( 380) sont évidemment symétriques par rapport au cenlre 0 du paralléiipipède {fi^;. 229). C'est pourquoi ils sont équivalents (562); mais ils ne sont superposables que quand ils sont droits.