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Programme officiel : Pôle de similitude de deux polyèdres semblables et semblablement placés, '

561k. Étant donné un système de points A, B, . . situés d'une manière quelconque dans Tespace [fig. 294 et 295}, si, sur les rayons SA, SB, SG.. . issus d'un point S choisi à voionlé, on prend à partir de ce point des segnaenis SA', SB', se . . tels que

SA ~ SB ~ se — • —

k étant un nomtn^ quelconque, on djt que le nouveau système de points A', B', C',. . ., est homothétîque au système

primitif ABC Suivant que les points homologues A et A',

B et B', . . . , sont situés d'un môme côté ou de côtés différents par rapport au centre S d'homotli^tie, les deux systèmes ABC. . A'B'C . sont dits komotliétiques directs ou homo^ thétiques inverses.

La définition de l'homothétie est donc la même pour les figures de l'espace que pour les figures planes (506). Toutefois, il n'est plus vrai de dire ici, comme dans le plan, que l'homothétie inverse donne, abstraction faite de la position, les mêmes figures que Thomothétie directe; F étant une figure quelconque de l'espace, si Ton construit, à l'aide d'un centre S arbitraire, la figure homothétîque directe F' suivant le rapport Ar, et la figure homothétîque Inverse Fi suivant le même rapport, les deux figures F' et Fi seront symétriques par rapport au point S (5tô). Or, on ne peut plus ici faire coïncider deux pareilles figures (561), tandis que dans le plan une rotation de 180 degrés autour du point S entraînerait la coïncidence (506).

565. Le théorème du n<* 507 et sa démonstration subsistent. La figure homothétîque d'une droite est une droite parallèle à la première, et l'angle de deux droites est égal à celui de leurs droites homologues (508, 509).

La figure homothétîque d'un plan est un plan parallèle au

premier, car si Ton considère dans le plan donné une droite qui tourne autour d'un point A, dans chacune de ses positions cette droite aura pour homothétique une droite parallèle passant par un point fixe A' homothétique de A. 11 résulte de là :

qu'un pl€m qui passe par le centre d'homothétie est à luimême son homothétiqueg a** que l'angle de deux plans est égal à l'angle de leurs homothétiques.

Les tangentes en deux points homologues de deux courbes homotliétiques sont parallèles, comme limites de sécantes parallèles. Par suite, les plans tangents en deux points homO' logues de deux surfaces homothétiques sont parallèles.

Deux systèmes sont homothétiques, s'il existe dans l'espace deux points 0 et 0' tels, que les droites qui joignent le point 0 aux divers points du premier système, et les droites qui joignent le point 0' aux divers points du second système, soient parallèles et dans un même rapport /r; la démonstration est la même qu'au n° 511.

Il résuite de là que deux sphères quelconques sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses (M3); les deux centres d'bomotbétie divisent harmoniquement la ligne des centres des deux sphères; ces centres sont en outre les sommets des deux cônes qu'on peut circonscrire aux deux sphères. Lorsque les deux sphères sont tangentes, leur point de contact est un centre d'bomothétie» directe si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.

La figure homothétique d'une sphère étant une sphère, et un cercle pouvant toujours être considéré comme l'intcrscctiun de deux sphères, on voit que la figure homothétique d'une circonférence par rapport à un point quelconque de l'espace est une circonférence.

Deux figures de l'espace sont semblables lorsque, par un déplacement convenable, on peut amener la seconde sur l'une des homothétiques directes de la première.

On comprend, d'après cela, pourquoi on donne, en géné* rai, les noms de centres ou pôles de similitude et de rapport de similitude aux centres et au rapport d'homothétie.

354 GOMniMERT.

§ VIIL

Phogbakmb officiel : Folume du tronc de prisme triangulaire.

THÉORÈME

566. Un tronc de prisme triangulaire est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour base commune la base inférieure du tronc, et pour sommets, ceux de la base supérieure,

Soil 327} le tronc de prisme triangulaire ABCDEF (376); soient £HyDK, FL« les perpendiculaires abaissées des sommets de la base supérieure sur le plan de la base ioférieure.

Fig. 337. Fig. 3a8.

En menant un plan par les trois sommets A, £, G, puis un autre plan par les trois sommets C, un partage le tronc en trois pyramides triangulaires EABC, EDCF, EDCA.

La pyramide EABC a pour base la base inférieure ABC du tronc, et pour hauteur EH.

En prenant pour sommets des pyramides EDCF, EABC, les points D et A, on voit que ces pyramides sont entre elles comme leurs bases ECF, ECB. D'ailleurs ces triangles, compris entre les parallèles EB, FC, ont même hauteur et sont entre eux comme leurs bases FG, EB. Donc, les pyramides EDCF, EABC, sont entre elles comme les arêtes FC et EB, ou, à cause de la similitude des triangles rectangles £BU, FCL, comme les liauteurs £H et FL.

Les deux pyramides £DCA, £DGF> ayant même hauteur, sont aussi entre elles comme leurs bases DCA, DGF; ou comme les arêtes DA et FG, puisque les triangles DGA, DGF, compris entre ■ es parallèles DA, FG, ont même hauteur; ou enOn, en vertu de la similitude des triangles rectangles DAK, FGL, comme les hauteurs DK et FL.

OOHPLtaBNT. * 355

Les trois pyramides EÂBC, EDCF, EDCA, étant proporiionnellcs aux liaiiieurs EH, FL, DK, et le volume de la première étant

ÂBC.EH

les volumes des deux autres sont respectivement