IX
Prograihib officibl : Folume du segment sphérique.
THÉORÈME
568. Le volume engendré par un segment circulaire tour^ nant autour d'un diamètre exiéneur à sa surface, équivaut au sixième du cylindre qui a pour rayon la corde du segment et pour hauteur la projection de cette corde sur Vaxe.
Le segment ÂmB (yîg. 329) est la différence du secteur circulaire OAB et du triangle isocèle AOB ; la portion du volume de la sphère engendrée par la rotation de ce segment sera donc égale à la différence des volumes du secteur sphérique ÂOB et du triangle tournant ÂOB.
DF étant la projection de AB sur xy et 01 la hauteur du triangle AOB, on aura (W9, 497, 487)
sect. sph. AOB = zone AB . ~ = - irOA . DF,
01 a — 2 vol. AOB = îiire AB . ^ = ^ w. 01 . DF.
Par suite,
vol. AmB = I ir (ÔÂ'- Ôï*) .DF.
Le triangle rectangle OIA donnant
— î — j — I AD* OA -01 =A1
il vient en réduisant
vol.AinB = 2!*7rAB .DF,
ce qui vérifie l'énoncé.
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COaPLÊMlMT.
THÉÛRËMË.
569. Le volume d'un segment sphérique équivaut au volume d'une sphère ayant pour diamètre la hauteur du segmenty augmenté de la demi^somme des volumes de deux cjr^ lindres ayant pour hauteur commune celle du segment, et,pour hases respectives les hases du segment.
On appelle segment sphérique la portion du volume de I9 sphère comprise entre deux plans sécants parallèles. Les cercles déterminés par ces plans sont les bases du segment spbé* rique» et leur distance en est la hauteur.
Lorsque Tun des plans parallèles devient tangent à la. sphère» le cercle correspondant se réduit à son pôle, et l'on a un segment sphérique à une hase.
Le trapèze mlxtiligne DAmBF (fig, 33o) engendre un segment sphérique en tournant autour du diamètre xy. Ce segment est compris entre les plans parallèles déterminés par la rotation des perpendiculaires KD, BF, autour de xy\ et il est
Fig. 33o. Fig. 33i.
la somme des volumes engendrés par le segment circulaire A/nB ei le trapèze rectangulaire DABF. On a d'abord (5G8)
vol. AmB = i itÂb'.DF.
Le trapèze DABF engendrant un tronc de cône de révolution, on a aussi (455)
vol. DABF =j 7: DF (5f'-*- ÂD% BF.AD).
Par suite,
vol. DAmBF = s7r.DF (Âb' -H 2bF'-i- 2X7)% 2JU . AJ>).
D'ailleurs, la corde AD est liée à la hauteur DF cl au\ rayons BF et AD des bases du segment sphérique par ia relation
Âb'= ÂËV b1*= 5f% (BF - AD)»
358 gompUmimt.
ou
Âb" = DF'-h 5f V Xd'- hBF.àD.
£n substituant cette valeur de ÂB* et en simplifiant» il vient
vol.DA«ïBF=:girDF (df'-i- 3BfV 3Âd'),
ce qu'on peut écrire
vol. DAmBF = ^ ttDF V - (ttBF^.DF h- wÂd'.DF),
de manière à vérifier Ténoncé (502, ^3i^).
Sî le segment considéré n'a qu'une base, c'est-à-dlrc si {Jîg. 33i) le point D vient occuper l'une des exlrémiles du diamètre xy, on a simplement
vol. DmBF = 2 7rî)F'-h - it.BF'.DF.
SCOLIB.
570. Quand le segment sphérique n'a qu'une base {fig. 33 1 on peut exprimer son volume Y en fonction de sa hauteur DF = A et du rayon R de la sphère. On a alors, d'après la formule précédente,
v=iit/i^-4-~7tJîj;\A.
D'ailleurs (199),
