Mener une tanL^ente.à Vellipse par un point donné

\° Si le point donné M est sur la courbe^ ou le joint aux (Jeux fojers (Jig- 3(>o), et Ton mène la bisseflrice de l'angle FMI formé par l'un des rayons vecteurs MF el le prolongement Ml de l'autre rayon MF' (Gl 1 ).

2" Si le point donné P est extérieur à l'ellipse (Jig, 363), on remarque que la question serait résolue, si l'on connaissait le symétrique 9 de l'un des foyers F par rapport à la tangente\ cherchée; car on aurait dès lors cette tangente en abaissant de P une perpendiculaire TT, sur : la droite TT. couperait d'ailleurs F' 9 au point de contact M (G15). Or, le point 9 se

Fig. 363. Fig. 364-

trouve à la fois sur le cercle directeur relatif au foyer F' et sur

le corde de centre P et de rayon I*F.

Ces deux cercles se coupent toujours quand le point 1^ est extérieur à l'ellipse. En effet, PF' étant la dislance des centres, PF et 2a les deux rajons, le triangle PFF' donne

FF' < FF -h FF' et, à fortiori, PF'<PF + 2flr.

Le point P étant extérieur à la courbe, on peut avoir

38G COMPLÉMBMT.

PF >- OU <; aa. Si PF est moindre que a a, on a

PF4-PF'>2fl, d'où PF'>2a — PF.

Si PF est plus grand que aa, le triangle PFF' permet de poser PF' > PF — FF' ei, à fortiori, PF' > PF — %a.

Ainsi, la conslruclion précédente réussit toujours quand le point P est exiérieur i\ la courhc; et comme les circonférences tracées se coupenl eu deux points 9 et 91, il y a deux solutions.

GOROLLAIIUBS.

618. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à l'ellipse soient à angle droit.

Si les deux tangentes TTi, T'T, , menées du point P, sont à angle droit {fig» 364 )> comme elles sont respectivement perpendiculaires sur le milieu des droites F 9, F 91, l'angle <pF(pt de ces deux droites doit être lui-même un angle droit. Cet angle étant inscrit dans la circonférence PF dont le centre est la droite 9<pt est un diamètre de cette circonférence, et P est le milieu de ce diamètre. .

Le lieu des points P est donc le lieu décrit par le milieu de la corde interceptée dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit tournant autour de son sommet fixe F. Or, si l'on joint le point P aux foyers V cl F', on a V<^ - PF, et le triangle rectangle F'P(p donne alors

PF '4- P^'z:.: PF V Pf'= F>'=

La somme des carrés des distances du point P aux points F et F' étant constante, le lieu cherché est une circonférénce de cercle concentrique à l'ellipse et qui a pour rayon la médiane OP du triangle PFF' (206). Comme les sommets du rectangle construit sur les axes et circonscrit & Tellipse (613) font nécessairement partie du lieu, le rayon OP est égal à la

demi-diagonale de ce rectangle, c'est-à-dire à ^à*-\- 6'.

619. .Ze^ tangentes PH, PM', menées à r ellipse par un point extérieur P, font des angles égaux avec les droites qui vont du point P aux deux foyers; la droite qui va du point P à

l'un des foyers est bissectrice de l'ange formé par les rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact U etW (fig, 365).

Fig. 365.

Menons les deux cercles directeurs de l'ellipse, cp étant le symétrique de F par rapport à la tangente PM et 9' le symétrique de F' par rapport à la tangente PM', les deux triangles PF9' et PF'cp sont égaux comme ayant leurs trois cotés égaux chacun à chacun. Les angles FP9' et F'p9 sont donc égaux. Si l'on enlève la partie commune FPF', les restes FP9, F'Pç', sont égaux, ainsi que leurs moitiés MPF, M' PF'. En second lieu, l'égalité des triangles PF<p', PF'9, entraîne

*angl<

j^HÉORÈME. .j /t</' ''^ - ^

620. Mener à l'ellipse une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revient encore 4 trouver le poîni symétrique 9 de l'un de^ foyers F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point est à rinterseclion du cercle directeur relatif au foyer F' (61 V) et de la perpendiculaire menée du foyer F sur la droite donnée DD' {fig, 366). Cette perpendiculaire coupe toujours le cercle F' en deux points 9 et 9,, puisque le point F est intérieur à ce cercle. Les perpendiculaires TT, et T' T'j élevées aux droites F 9 et F 9, par leurs milieux sont les tangentes demandées, et leurs points de contact sont à leurs rencontres respectives avec les rayons F'ç et F' 9, (615).

GOROLLAIRBS.