MP MO MP BO

OF

FG

ou

FG nb

On déduit delàMm=rFG.

Par suite» les triangles rectangles MF m, MFG, sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et un côté égal, et Ton a mF = MG; de méme> l'égalité des triangles rectangles MF' m, MF' G', donne mF' = MG' = M' G. Donc enfin

m F 4- m F' MG -h M'G = MM' = AA'.

Ainsi la projection du cercle est une ellipse dont le grand axe est le diamètre AA' du cercle qui est situé dans le plan de projection (ou qui est parallèle à ce plan). Quant au petit axe, sa valeur dépend de l'inclinaison du plan du cercle sur le plan de projection; il peut prendre toutes les valeurs comprises entre zéro et A A'. B'oii l'on voit que toute ellipse peut être considérée comme fa projection de son cercle principal dont le plan aurait tourné d'un angle convenable autour du grand axe.

Kg. 368.

COROIXAiaBS.

625. La position d'un ])oint M dans un plan [fig. 368) est déierniinéc par ses dislances MP (H ^TQ à deux axes rectangulaires indéfinis .rOx', r Oj^', tracés dans ce plan. Le nombre q^ui mesure la distance MQ=:()P du point M à l'axe jOr', l^is avec le signe + ou avec le signe ~> suivant que le point

P tombe sur 0^ ou sur 0^', s'appelle V abscisse du point M ; on iioMimo ordonnée du poinl M le nombre qui mesur(* sa distance MP — OQ à l'a\c xOju', pris avec le signe -h ou avec le signe — , suivant que le point Q tombe sur Oi' ou sur ()>''. L'abscisse el l'ordonnée d'un poinl ronstilueiil <c^coordonnées. Les axes x'Ox, >^0/, sont les axes des coordonnées et leur inierseclion 0 en est V origine.

Quand un point appartient à une courbe, son ordonnée et son abscisse sont liées l'une à l'autre par une relation qui dépend de la nature de la courbe et qui caractérise cette courbe. Ainsi l'abscisse = OP et l'ordonnée x = MP d'un point quelconque d'une circonférence de cercle de rayon R, par rapport à deux axes rectangulaires x^Ox, yOy, passant par le centre» sont unies par la relation

et inversement, la courbe dont les coordonnées d'un point quelconque M satisfont à cette é<]^uation n'est autre que le cercle de rayon R ayant pour centre l'origine 0 ; car on a

ÔM*=jr»-l-^=R* d'où OM = R.

Le choix des axes coordonnés est arbitraire. Dans le cercle, on prend ordinairement deux diamètres perpendiculaires; dans l'ellipse, on adopte de préférence les deux axes de symétrie.

Il résulte de ces définitions et du théorème précédent que Vordonnée d'un point quelconque de Vellipse est à l'ordonnée du point du cercle principal qui a la même abscisse dans un rapport constant. En effet, le cercle ABA' {Jig' 367) peut èlrc considéré comme le cercle principal de l'ellipse A6 A', qu'on aurait fait tourner autour de AA' de l'angle />0K. Or, dans cette rotation, l'ordonnée MP du cercle ne change pas de grandeur, el l'on a par les triangles semblables JUPmj BU 6,

mP 06 m\* b

MP ^ OB m" a

en appelant a et b les demi-axes de l'ellipse.

Ainsi, on passe du cercle principal d'une ellipse à cette ellipse, en diminuanl toutes les ordonnées dans le rapport dy petit axe au grand axe.

392 GOMPUMBMT.

^ 6S6w Cette manière de considérer l*ellipse conduit à des solutions simples pour un grand nombre de problèmes.

Veut-on, par exemj)l(% les points d'inicrseclion d'une droite LD et d'une ellipse non tracée dont on donne les axes AA' et BB' [fi^. 369)? On dilatera toute la figure perpendiculairement à AA' dans le rapport de OB à OA. L'ellipse deviendra .le cercle AB, A'; quant à la droite DL, son point L ne changera pas, et pour trouver sa nouvelle position, il suffit de chercher ce que devient l'un quelconque C de ses points; à cet effet, on joint BG qui coupe AA' en un certain point K; la droite BK devient évidemment B.K, et par suite le point C, est à l'intersection de BiK. et de la perpendiculaire menée par C sur AA'. Dès lors, en prenant les points M et M' où la droite Ld coupe le cercle, et ramenant ces points sur la droite LD par

, des perpendiculaires à AA', on obtient les points demandés m et m'.

€k)mme second exemple, voici un moyen très-simple de tracer par points une elUpse ilont on donne les deux axes

Fig. 369. • Fig. 370.

Soient 0 Je centre de Tellipse, O4? la direction du grand axe, celle du petit axe, et a et h les longueurs du demi grand axe et du demi petit axe. Sur le bord d'une bande- de

papier, on prendra trois points A, B, M, tels que AM = « et

B>1 — b \ puis, on déplacera la bande de telle sorte que le point A glisse sur le prolongement de 0>' et le point B sur ().r; on marquera avec un crayon sur le papier la position qu'occupe chaque l'ois le point M; le lieu de ces points sera l'ellipse demandée. £n effet, ABM étant une position quelconque de

COMPLÉMIOfT.

la bancie, menons ON parallèle à AH jusqu'à la rencontre de l'ordonnée MP du point M. On aura évideinnienl ON — AM"rt, de sorte que le lieu des points Nsera le cercle principal de l'ellipse cherchée. D'ailleurs, les triangles semblables OPN, BPM, donnent

MP BM b NP ~UN

L'ordonnée du point M n'étant que l'ordonnée du point N

contractée dans le rapport ^» le point M décrit bien l'ellipse demandée.

La considération de Tellipse comme projection da cercle conduit très-simplement à beaucoup d'autres propriétés

de l'ellipse, notamment aux propriétés des diamètres ( voir notre Traité de Géométrie). Mais pour ne pas sortir du cadre que nous nous sommes ini[)osé, nous nous bornerons à démontrer que les diamètres de l'ellipse sont des droites.

On appelle diamètre dans une coùrlje le lieu des milieux d'un système de cordes parallèles. Considérons donc dans l'ellipse un système de cordes parallèles; ces cordes seront les projections de cordes ^parallèles dans le cercle dont T^^llipse est la projection, et le milieu de chaque corde de l'ellipse sera la projection du milieu de la corde correspondante du cercle. Or, dans le cercle, le lieu du milieu du système de cordes parallèles est une droite; le diamètre dans Fellipse sera donc la projection de cette droite, c'est-à-dire une droite passant par le centre.