PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L'HYPERBOLE
628. VAjryerbole est une courbe plane telle, que la différence des distances de chacan de ses points à deux points fiies de son plan est égale à une longueui' constante. Ainsi [Jrg. 371), les deux points fixes étant F et F' et la longueur donnée étant représentée par la droite AA', on aura pour tout point M de l'hyperbole
MF - MF' = =fcA A',
suivant que le point considéié sera plus éloigné du point F ou du point F'.
COMPLÉMBMT.
D'après cela, pour décrire un arc d'hyperbole d'un momement continu, on prend nne règle F'K dont on fixe Tune des extrémités an point F' [ fg. 371), de manière qu'elle puisse seulement tourner autour de ce point. Un fil, dont la longueur est moindre que celle de la règle de la constante ÀÂ', est fixé par Tune de ses extrémités au point F et par l'autre au point K. Si l'on tend alors constamment ce fil le long de la règle à l'aide d'un crayon , en faisant tourner la règle autour de F', la pointe du crayon trace un arc de l'hyperbole demandée; car, pour une position quelconque M de cette pointe, on a (dans le cas de la figure)
MF'~ MF = iMF'+ MK) - (MF H- MK) = AA'.
En prenant pour centre de rotation de la règle le point F, et en attachant la seconde extrémité du fil au point F', on obtient, la seconde partie de la courbe. Quand la règle est au-dessus de FF', le fil doit être tendu contre son arôte inférieure ; c'est l'inverse quand la règle est au-dessous de FF'.
On voit que l'hyperbole est formée de deux parties qui ne peuvent avoir aucun point commun, puis(|u'on a toujours, pour la partie droite do la figure, MF'>MF, et pour celle de gauche, IîïF>MF'. Clinqiic pîirtic est d'ailleurs composée de deux branches qui s'étendent indéfiniment iiiidessns et au-dessous de la droite FF'; rien ne limite en eiTet Téloignement des pdinls obtenus sur la courbe que la longueur môme de la règle et du fil em[)loyés. L'hyperbole est donc une courbe à branches infinies, aussi bien dans le sens FF' que dans le sens perpendiculaire.
Les points F et F' sont foyers do l'hyperbole, les droites MF et MF sont les rayons vecteurs du point M. La longueur AA' est ordinairement représentée par a a. La distance FF' se nomme distance focale, et on la représente par 24;. L'existence du triangle MFF' entraîne la condition* ac> 2rt ou c> a.
Fig.371.
Fig. 373.
Le rapport - e&t ïcxccntricitc de 1 hyperbole. Celte excentricité peut
C0KPI.Ê1IB1VT. 39$
varier de i à oo . Pour t ^ (i, elle est égale à i, et l'hyperbole se réduit aux deux portions de la droite FF' qui sont séparées par la distance FF'; pour a = o, elle est inGnie^ et l'hyperbole se réduit à la perpendiculaire élevée sur le milieu de FF'. Entre ces deux Umites, Thyperbole se rapproche d'autant plus de la droite FF' que rexcentricilé est plus petite.
629. On peut tracer rh\ pcrbolc par points [Jig. ^ji). En effet, marquons le milieu 0 de la distance focale FF' et, de part et d'autre du point 0, prenons OA = OA' = r/, puis un point K (luelcoïKjuc sur le prolongement de OA. Si des jyoint^ F et F' comme centres, avec des rayons respectivement égaux à AK et à A'K, nous décrivons des arcs de cercle^ leurs points dMntersection H et H' appartiendront à l'hyperbole, car on aura
MF'- MF = M'F' - M'F = A'K - AK = a/i.
La distance des centres FF' étant toujours i>!us L'rande que la différence 2a des rayons, il suffit, ])Our l'intersection des deux circonférences, que cette distance soit moindre que la somme des rayons, c est-à-dire qu'on ait
FF'<AKh-A'K ou 2c<2AK-|-2rt.
La condition cherchée est donc
AK > c — a ou AK > AF.
Comme on peut échanger les centres sans modifier les rayons, chaque point K permet d'obtenir quatre points M et M', N et N', de l'hyperbole. Le point K doit seulement être au delà du point F, sans que rien limite
sa position à droite de ce point.
Si le point K est en F, les points correspondants de l'hyperbole sont les points A et A'. Le rayon vecteur minimum est r — a: il n"y a pas de rayon vecteur maximum, puisque les rayons vecteurs d'un point delà courbe peuvent croître jusqu'à l'infiiui.
THÉOKÈME.
630. J.^ hyperbole a : i" jjoiir axes, la droite A A' (jiii passe par ses deux foyers , et la droite WW perpeadienlaire nu fiiilieu de la première } 1° ])our eentre, r intersection 0 de ces deux droites (yî"^'. Bja).
Môme démonstration que pour l'ellipse (607), en considérant la différence des rayons vecteurs au lieu de leur somme.
COROLLAIBB.
631 . Des deux axes AA' et BB', le premier seul rencontre la courbe. L*axe AA' est dit Taxe tnutsverse de Fhyperbole, l'axe BB' est dit son axe non transverse. Les extrémités A et A' de Taxe transverse sont les sommets de la conrbe.
COM?L<HBMT
THÉORÈBIE.
632. Suivant gu^un point est intérieur ou extérieur à Vhj'perbole, la différence de ses distances aux deux foyers est pius grande ou plus petite que a a {Jig. 373).
Kg. 373
Le point N étant intérieur, joignons-le aux deux foyers. NF' coupant au point M la branche de courbe qui correspond au foyer F, on a
NF<MN + MF, d'où I^F — NF > NF - MN - MF, c'est-à-dire
NF' - NF > MF' - MF ou aa.
Le point N' étant extérieur, joignons-le aux deux foyers. F'N' prolongé coupant au point M la branche de courbe qui correspond au foyer F, on a .
N'F-i-MN'>MF, d*où MF'- NT-BIN'<MF'- MF,
c'est-à-dire
N'F'-N'F<atf.
Suivant (juc l<i différence des distd/K cs du point considère aux dcii.r fojc/'S est i/ijcrteure, r^ale ou supcrirure n ia, ce point est hors de lu courbe^ sur la cpurbc ou dans son intérieur.
THÉORÈME
633. La ta/igcn/c à l'/iypcrb'd<\ est la bissectrice de l a/igle Joriné pai les rayons vecteurs du point de contai t.
Mémo démonslration que pour Tellips^e (011). on romarquanl que dans Pellipse les rayons vecteurs d'un même point varient en sens contraires, tandis que dans lliyperbole ils varient dans le même sens.
COBOLLAIBES.
634. Tous les points de la tangente MT^ sauj le point M> sont cxté^ rieurs à VhypetMCf qui est, par suite, une courbe convexe.
GOMPLfiMBNT. 897
Même démonstration que pour Tellipse {612), en remplaçant la somme des rayons vecteurs par leur différence. 635. Si Ton mène au point M {fig. 874) une perpendiculaire MN à la
Fiç. 374.
tangente MT, les angles LMN, sont égaux comme compléments d'angles égaux. l>onc, la normale à Vfyperbole est la bissectrice de l'angle formé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre rayon.
La normale en un sommet de Thypcrbole se confond avec l'axe transverse, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.
Si une ellipse et une hypei bule ont les mêmes foyers ou sont cotifocales, elles se coupent à angle droit; car, en l'un quelconque des points d'intersection, la tangente de l'une est la normale de l'autre (6ii, 613).
théouLme.
636. Le lieu des points syniétritjucs «p de l'un des foyers ¥ par rnpjjort (dix tangentes est un cercle [directeur] décrit de Vautre foyer V avec
la h/i Loueur ia de Vaxe tra/t srer.se }>nur rayn/i [fg. 3;/, ).
Le lieu des points écjuidistauts d^ un cercle de centre F' et d un point extérieur F est une hyperbole dont les /(ffcrs sont les points F et F', et dont le cercle directeur relatif au foyer F' est le cercle donné.
Même démonstration que pour l'ellipse (Cli, Glo). en remphirant toujours la somme des rayons vcc leurs par leur diflërence. L'hyperbole a, comme l'ellipse, deux cercles directeurs.
THÉORÈME
637. Le lieu des projections des foyers d'une hyperbole sur ses tangentes est la circonjércnce décrite sur Vaxe transverse comme diamètre (Jig. 375).
Même démonstration que pour l'ellipse (616). Le cercle obtenu est dit cercle principal de l'hyperbole.
SgÔ compléuent.
COROLLAIBBS.
638. Soient (fig. 375) la tangente MT, les rayons vectènrs BIF, MF', de son point de contact, f le symétrique du foyer F par rapport à ta tangente HTf K la projection de ce foyer sur la tangente. Les rayons OK
FiB.375. Fig.376.
et F''^ du cercle principal cl du cercle directeur relatif au foyer F' restent toujours parallèles entre eux pendant que, le point ^ parcourant le cercle directeur, la droite Fy tourne autour du foyer V. Au moment ou cette droite devient tangente au cercle directeur, elle le devient donc aussi au cercle principal. Soient 0 et K ses points de contact avec ces deux cercles {f^.Z-j(}>). La tangente qui passe par le point K, étant perpendiculaire à F'j, n'est alors autre chose que le prolongement du rayon OK et devient parallèle au rayon F'f, de sorte que son point de contact M s'éloigne à l'infini (636). La droite OKM ainsi obtenue, qui touche la branche supérieure de la demi-hyperbole de droite à Tinfini, est appelée aspuptote de rbyperbole.
La seconde tangente commune menée au oerde principal et au cercle directeur F' par le foyer F donne une seconde asymptote OK'M', qui touche à rinfini la branche inférieure de la demi-hyberbole de droite.
Les droites OKM, OK'M', étant également inclinées de part et d'autre de Taxe transverse (i57), si l'on fait faire à l'hyperbole une demi-révolution autour de son axe non transverse, les foyers ne font que s'échanger, ainsi que les deux demi-hyperboles, de sorte que le prolongement OM, de la droite OKM est asymptote à la branche inférieure de la demihyperbole de gauche, tandis que le prolongement OM', de la droite OK'M' est asymptote à la branche supérieure de cette demi-hyperhole.
En résumé, rin/jcrbole <i jmur asMiiplotcs les deux droites indcfiincs tracées par son centre, pundlèlement <iux rayons du cercle directeur F' qui correspondent (utx tangentes coni/nunes menées du Joy er F au cercle F' et au cercle principal de la courbe. Ces droites sont d'un grand secours pour la construction de l'hyperbole, puisqu'elles font connaître les directions vers lesquelles tendent ses branches infinies.
639. Soiônt { //g. 377) les asymptotes ^j^'^xx'* de l'hyperbole dont les foyers sont F ei F' et les axes AA'et Bfi'. Menons au point  la perpendiculaire ÂC à l'axe traosverse, jusqu'à la rencontre de l'asymptote xy'^
Rg. 377.
D'après co qui précède (6371. ^^i Ton ;tl);iis<o ;iussi FK |)erpentliculciire sur jy, on aura OK = a. Les deux trianii;k's rectangles OAC, OKF, sont dune égaux (i9), et OC = OF— c. On voit que a et ( étant donnés, ou en déduit AC; de même a et AC étant connus, on en déduit c
Achevons le rectangle CC'D'l). Par analogie avec l'ellipse (608), la longueur BB'— 2AC, ainsi déterminée, est aj>[)clée la longueur de Vaxe non tmnspersede l'hyperbole, el on la représente par 2^. Remarquons que le parallélogramme ÂBÂ'B' a ses côtés parallèles aux asymptotes.
Les trois longueurs a, 6, c, sont liées entre elles parla relation c^^a^-I-^** Elles sont liées dans l'ellipse par la relation c*=i^—ii'j qui ne diffère de la précédente que par le changement de b* en — 6'. Par suite, les propriétés de Vellipse et de Vkyperhole qui ne dépendent que des ion" gueurs de leurs axes, se déduisent les unes des autres par le simple diangement de\^ en ^b^,
640. Lorsqu'on donne les longueurs des axes de l'hyperbole, il est facile de déterminer graphiquement les foyers. On n'a qu'à élever à l'extrémité A de Taxe transverse une perpendiculaire AC = 6 {fg. 377), et à décrire du point 0 comme centre, avec OC pour rayon, une circonférence qui coupe l'axe transverse aux deux foyers F et F'. On trouva en même temps l'asymptote OC et sa symétrique OC' (C3S).
641. On appelle hyperbole ('■(juihitèrc une hyperbole dont les deux -axes ont la môme longueur. Le rectangle (X'l)'D (.An'- 377) devenant
alors un carré, on \oit que les (isyinjHutcs trune hjijcrbolc équilatère sont « angle droit l'une sur l'autre.
4oO COMPLÉMENT.
On entend par liyjn-rbolcs conjuguées deux hyperboles ijui, ayant les mêmes axes et. j ar suite, le môme centre, la môme distance focale et les mêmes asymptotes, sont situées par rappoi l à ces asvinptotes dans des angles ditîérents; c est-à-dire (pie l'axe transverse de 1 une ebl l'axe non transverse de l autre, et réciproquement \Jig, 377).
PROBLÈME
6i2. Mener une tangente à r hyperbole par un jtoint donné. Mêmes procédés qUe pour l'ellipse (Cl 7).
GOROLLAIBBS.
643. Le Heu des sommets des an g/es droits circonscrits à V hyperbole est une circonférettce concentrique à Ut courbe et (^ant pour rayon
La démoDStration directe est la même que pour l'ellipse. Seulement, la qoestioa revient ici à chercher le lieu des milieux des cordes interceptées dans le cercle directeur relatif su foyer F', par un aà^e droit dont le sommet F lui est extérieur. Le problème peut alors être impossible, et le lieu cesser d'exister si Ton a /i < 6.
644. Les tangentes FM, PM', menées à l'hyperbole par un point exté' rieur P, font des angles égaux. aœc les droites qui vont du point P aux deux foyers ; la droite qui va du point P «• l'un fies foyers est bissectrice de l'angle intérieur ou extérieur des rayons vecteurs fjui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M', suivant que les tleux taU' genfes touchent V hyperbole dans la même région ou dans deux régions dtj/érentes,
Fig. 378.
PROBLÈBIE.
645. Mener à Vhyperbole une tangente parallèle à une droite donnée [Jig. 378).
COMPLÉMENT. ^Ol
Même procédé (|uo pour Fellipse (020). Seulement le problème n'est
pas toujours possible. Il faut que, si l'on mène par le centre de la courbe une parallèle à la droite donnée, elle ne tombe pas dans les angles des asymptotes qui renferment l'hyperbole.
GOROLLAHBS.
646. Les deux teutge/iies parallèles à une droite donnée ont leurs points de contact sfmétnqttes par rapport au centre (621 ),
647. Ja' produit des distancfs d^a/t Jtn rr à deux ta/is^cntf s pf/ni/^r/rs ou if produit des di.staïucs dcx deux Joycrs à u/u; mewc ta/igcuta, est constant (622).
Les constructions des n"* 642 et 6i5 n exigent pas que 1 hyperbole soit tracée.
§ xu.
Programme officiel : Véjiniiion de la parabole par la propriété du foyer et de la directrice. - - Tracé jiar points et d'un mouvement continu. — Axe. — Somnu t. — lun on vecteur. — La tangente j'ai t des ani^les éi^aiix avec la parallèle à l'axe et le rayon vecteur menés par le point de contact. — Mener la tangente à la parabole par un point pris sur la courbe, par un point extérieur. — Normale. — SouS" normale. — Helation entre le carré d'une ordonnée perpen^ diculaire à l'axe et la distance de cette ordonnée au som" met,
