DÉFINITION ET TRACÉ DE LA CO0RBE

648. La parabole est une courbe plane telle, que chacuh dts ses points est équidistant d'un point fixe et d'une droite fixe donnés dans son plan. Ainsi {fig, 379)» le point fixe étant F et la droite Ûxe DD', on aura, pour tout point M de la parabole, en abaissant MH perpendiculaire sur DD', MF = MH. Par sa déOnition même, la parabole est nécessairement située tout entière du même côté que le point Oxe par rapport à la droite Axe.

D*après ce qu'on vient de dire, pour décrire un arc de parabole d*un mouvement continu, on fait coïncider l'arête d'une

règle avec la droite DD', et l'on applique contre rente rèf^le le petit cùté Kll d'une équerre KHG. Un lil, égal en lunj^ueur au

4o2 COMPLÉM£KT.

grand côté HG de cette équerre, est fixé par ses deux extrémités, d'une part au point F, et de l'autre à l'extrémité G du côté HG. Si Ton tend alors constamment ce fil contre le grand eôté de Téquerre à Taide d'un crayon, et si l'on fait en même temps glisser l'équerre le long de la règle, la pointe du crayon décrit un arc de parabole. En effet, pour une position quelconque M de cette pointe» on a

GM -h MF = GH = GM + MH, d'où MF = MH.

En opérant de cette manière , on trace d'un mouvement continu l'arc BA, qui va du point B de la courbe dont la distance au point F est égale à GH, jusqu'au point A milieu de la perpendiculaire FL abaissée du point F sur la droite DIV.

Il faut ensuite retourner l'équerre, comme l'indique la figure, pour décrire l'arc AB'.

Oïl voit que la parabole s'étend indéfiniment, à partir du point A, au-dessus et au-dessous de la droite FL; car si l'on emploie une rèj^le, une équerre et un fil assez longs, rien ne limite l'éloignement des points obtenus sur la courbe.

Le point F est le foyer de la parabole» la droite DD' est sa directrice. La droite MF est le rayon vecteur du point M. La distance FL du foyer à la directrice se nomme le paramètre de la courbe, et on la représente par p,

Fig. 379. Fig. 38o.

61tô. On peut aussi tracer la parabole par points.

En effet, prenons (fig, 38o ) un point P quelconque sur la perpendiculaire FL abaissée du foyer sur la directrice. Par le point P, menons une perpendiculaire à FL ou une parallèle à la directrice, et du foyer F comme centre, avec PL pour rayon, décrivons une circonférence qui coupera celle parallèle en (leuv points M et M' apparlonaiii à la parabole, comme équidistaiils du foyer et de la directrice.

Pour que les points d'intersection M el M' existent, il suffit que le point P soil à rintérieur du cercle décrit du foyer F comme centre avec PL pour rayon , c'est-à-dire qu'on ait FP <C l'L. Celte condition sera toujours remplie lorsque le point P sera à' droite, du foyer F {dans le cas de la figure); mais elle exige, si le point I* est à gauche de F, qu'il reste à droite du point A, milieu de FL. Si l'on a dans ce cas. comme condition limite , * FP = PL , le point P se confond avec le point A, et les deux points M et M' se réunissent en ce point.

Le rayon vecteur minimum est donc AF ou il n'y a pas de

rayon vecteur maximum , rien ne limitant Téloignement du point P à droite du foyer F.

THÉORÈMB.

650. La parabole a pour axe la perpendiculaire menée du foy er sur la directrice (fig. 379).

Même démonstration (jue pour l'ellipse {607, 1°). Le point A, commun à la parabole et à son axe, est \q sommet de la courbe.

THÉORÈMB.

651 . Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à la parabole, sa distance au fo}er est moindre ou plus grande que sa dislance à la directrice (Jig, 38 1 ).

Soit d'abord un point N intérieur à la courbe. Menons la droite NF et la perpendiculaire NH à la directrice; cette perpendiculaire coupera la parabole au point!M(648). Le triangle NFM donne alors

NF<NM-4-MF ou NF<NH, puisque MF=:MH.

Soit de même un point N' extérieur à la courbe. Si le point

COMPLÉMEM.

N' et le foyer sont de côtés différents par rapport à la directrice, la proposition est évidente. Sinon, menons la droite N'F et la perpendiculaire N'H à la directrice; cette perpendi-

l-ig. 38i.

culaire prolongée coupera la parabole au point M. Le triangle N'FM donne alors

N'F>MF — MN' ou rsl<>N'H, puisque MFz^MH.

Il résulte de là que :

Suivant que la dislancc </' un point au foyer est égale, supéi ii'urt ou inférieure à sa distance à la direct ri ce, ce point est sur la courbe, hors de la courbe ou dans son intérieur.

TilÉORÈME.

652. La limite d^une ellipse {ou d'une hyperbole) dont un sommet et le fojrer voisin restent fixes, tandis que Vautre foyer s'en éloigne indéfiniment dans la direction du grand axe (ou de l'axe transverse), est une parabole qui a pour sommet et pour foyer le sommet et le foyer fixes {fg. 382 ).

En effet, le cercle directeur relatif au foyer mobile F' coupe toujours le grand axe à droite du foyer fixe F, en un même poipt L déterminé par la condition évidente ÂL = AF. A mesure que le centre F' de ce cercle s'éloigne dans la direction AA', son rayon crott indéfiniment, de sorte qu'il a pour limite la perpendiculaire DD' menée par le point L au grand axe AA'. D'ailleurs, tout point M de l'ellipse étant également distant du foyer F et du cercle directeur F' (615), on a constamment MF = MG, c'est-à-dire à la limite, quand, l'ellipse se

COMPLfiMEXT. 4^

déformant, le point M vient en M,, M,F = M,H,en désignant par MiU la perpendiculaire abaissée du point Mi sur la droite

Fîg. 382.

DD', limite du cercle F'. Le lieu des positions limites des points de l'ellipse donnée est donc une parabole ayant pour foyer et pour somniet les points F et A, et par suite la droite DB' pour directrice.

Corollaire.

C53. Le théorème précédent permet de prévoir et de démontrer les propriétés de la parabole, en les déduisant par voie de transformation des propriétés correspondantes de l'ellipse.

Si ces propriétés dépendent explicitement des axes a et 6 de l'ellipse et de son excentricité c, on substitue à a et à 6 leurs valeurs en fonction de v et du paramètre = 2 (a — c) de la parabole limite ; puis» en supposant c infini dans les formules obtenues, on passe des. propriétés de l'ellipse représentées par ces formules, aux propriétés correspondantes de la parabole exprimées en fonction du paramètre p.

THÉORÈME

05 V. La tangente à la parabole fait extérieurement des angles égaux avec le rayon vecteur du point de contact et avec Utjfarallèle menée à l'axe par le même point.

Prenons sur la parabole {Ji{^\ 383 ) deux points voisins M et

4o6 coMPLÉMCirr.

M' ; ineiioDs la S(''r;imo ^IM'S, abaissons des deux points consid<''rés les perpendiculaires M cp, sur la directric e DD',

et irac ons leurs rayons vecteurs. Portons sur FM une loni^ueur FC = FM', et sur 9M une longueur 9E = 9'M'. D'après la définition de ia parabole, MC est égal à MË.

D'un point G quelconque de la sécante MM' S, menons à M'C el à M'£, jusqu'à la rencontre de FM cl de 9 M, les parallèles GI et GH. Les deux quadrilatères GM'£M, IGHM, sont semblables (185), et l'égalité de MG et de ME entraîne celle de MI et de MH.

Fig. 383. Fig.38/,.

A mesure que le point M' se rapproche du point M, GH reste comme M'£ perpendiculaire à M 9, tandis que GI, perpendiculaire à la bissectrice de Tangle au sommet du triangle isocèle M'FC, tend à le devenir au rayon vecteur FM. On a de

plus constamment MI — MIL La tangente à la parabole(//g-. 384) doit donc être telle, que si, d'un point quelconque G pris sur cette droite, on abaisse des perpendiculaires GI et Gll sur le ravon vecteur du point de contact M et sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice, on ait MI — MIL Les triangles rectangles MOL MGIT , sont alors égaux (49), ainsi que les angles GMI, GMil. La tangente à la parabole est donc bissectrice de fangle formé par le rayon vecteur du point de contact et la perpendiculaire abaissée de ce point sur la directrice.

Mais l'angle GMH étant l'opposé par le sommet de l'angle T,MO, les deux angles GMI ou TMF et TiMO sont égaux ; ce qui conduit à l'énoncé adopté.

co>n.teiirT.

COKOLI.AIRES.

(>55. Soit S le point où la sécante MM' S (fig, 383) coupe la directrice DIV. On a, à cause des parallèles,

MS My MF .

la droite SF est donc la bissectrice de Tangle extérieur en F du triangle MFM' (172). La droite qui joint le foy er d'une pambûle au point de rencontre d'une êécante quelconque avec la directrice est donc bissectrice de l'angle extérieur des rayons vec leurs des points d'intersection de la sécante avec la courbe.

A la limiie, quand la sécante devient tangente, c'esl-à-dire quand l'angle MFM' devient nul, la droite SF est remplacée { fig. 384 ) pa"* droite RF, bissectrice de l'angle supplémentaire. Par suite, la droite qui joint le foyer d'une parabole au point où une tangente quelconque rencontre la directricOf est perpendiculaire sur le rayon vecteur du point de contact,

656. Tous les points de la tangente MT, sauf le point de contact M, sont extérieurs à la parabole qui, dès lors (612), est une courbe convexe ijig. 385).

Ën effet, le triangle FM<p étant isocèle, et la tangente étant la bissectrice de son angle au sommet (65b), elle est perpendiculaire sur le milieu K de F9. Pour un point Ti quelconque de la tangente, on a donc, T|H étant la perpendiculaire abaissée

Fig. 385.

4o8 COHPLtHBNT.

d(î ce poiiii sur la direclrice, T, II <CTi9 ou T,H<1T|F. Le poinl Ti ébl donc exlciieur à la courbe (051).

657. Si Ton mène au poinl M (fig, 385) une perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, OMN sont égaux comme compléments d'angles égaux (654). Donc, la normale à la parabole est bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle menée à l'axe par ce point.

Au s()ii)in;H de In jiiHabolo, la iioi malo se confond avec l'axe, et la langenle est perpeiuliculaiio à col axe.

Soient T d N {fif^. 385) les jMiinis oîi la langenie et la normale rencoiilrenl l'axe. Les li ian^drs TMF, NMF, éiant év idemmenl isocèUîs, on a MF =^ VJ - FN. Le foyer V est donc à une distance, soit du pied de la tangente, soit du pied de la normale sur VaxCy égale au rayon vecteur du poinl de contact.

Dans le cas de la parabole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent du foyer, deviennent tous parallèles à l'axe après leur réflexion sur la courbe. C'est pourquoi l'on emploie des réflecteurs paraboliques, lorsqu'on veut projeter au loin un faisceau de rayons lumineux parallèles (lanternes de voitures, phares). Réciproquement, tout rayon qui vient rencontrer la parabole parallèlement à son axe se réfléchit au foyer de la courbe. De là, par exemple, l'usage des réflecteurs paraboliques dans les télescopes, pour concentrer au fo^erles rajuns lumineux venant de l'astre observé.

THÉORÈME

658. Le lieu des points symétriques 9 du foyer F par rap^ { port aux diverses tangentes à la parabole est la directrice

(Jig, 385).

Celle proposition résulte du n" 014.

SCOLIES

()50. Liant donnés un point F et une droite DD' {^/Ig. 385), SI l 'on mène des droites aux différents points de la droite DD', les perpendiculaires élevées à ces droites par leurs milieux enveloppent une parabole qui a pour foyer le point F et pour direclrice la droite 1)D' ; les points de conlact de ces tan"

GOMFLtMBHT. 4^

génies êont à leurs rencontres avec les perpendiculaires menées à la directrice par les points o.

660. Les parallèles à l'axe de la parabole ne renconlrenl la courbe qu'en un seul point.

TliÉUUÈME.

661. Le lieu des projections du fojrer d'une parabole sur ses tangentes est la tangente au sommet.

Wt éiani la tangente à la courbe au point M {/ig, 386), et 9 le symétrique du fo^er F par rapport à celte tangente, le

Fig. 386.

point K où Fq coupe la langenle est le milieu de F9. D'ailleurs, le sommet A est le milieu de FL. Donc, dans le triangle FL<p, AK est parallèle à la directrice ou se confond avec la tangente au sommet (657 ). La projectioh K du foyer sur une tangente se trouve par suite sur la tangente au sommet.

Aéciproquement» K étant un point de la tangente au sommei, si Ton mène la droite le point 9 sera le symétrique du foyer F par rapport à la tangente qui passe par le point K (BSd); le point K sera donc la projection du foyer F sur cette tangente.

Il résulte de là que si Tun des côtés d'une équerre passe constamment par le foyer F, tandis que son sommet parcourt la tangente AK au sommet, l'autre coté de l'équerre reste constamment tangent à la parabole.

THÉORÈME

662. Dans la parabole : 1" la sous-tangcnle est double de V abscisse du point de contact; 2" la sôus-normale est constante et égale au paramètre (Jig* 387 ).

4lO OOVPLÉXBIIT.

Si Ton prend pour axes coordonnés Taxe Â4? de la courbe et la tangente au sommet ky, le point M aura MP pour ordonnée et AP pour abscisse. Menons la tangente M T et la normale . MN; la projection TP sur Taxe Ox de la portion de tangente MT comprise entre son point de contact M et son point de rencontre Tavoc l'axe s'appelle la sous-tangente, et l'on nomme sous-nornia/c la projection PN sur 0^ de la porlioii de normale comprise entre le point M et son point de rencontre N avec Ox. Cela posé :

T" Le triangle TFM élanl isocèle (G57), la projection K du foyer F sur la tangente MT est le milieu de MT. La tangente au sommet AKj étant parallèle à l'ordonnée MP, le sommet A est alors Je milieu de la sons-tangente TP, et TP = aAP.

Fig. 38;.

2* La normale MN et la droite F 9 sont parallèles comme perpendiculaires à la tangente MT. La flgure M<pFN est donc un parallélogramme, et 9F = MN. Les deux triangles rectangles MPN, (pLF, sont alors égaux ( 49). et l'on a PN LF =

Corollaire.

663. Le carré de l'ordonnée d'un point de la parabole est proportionnel à l'abscisse de ce point {Jig* 387 )•

Le triangle rectangle TMN donne