ROTES

commensurables est la Umite det résultats obtenus en substituant à chacun d'eux des vtdmurs cômmensurtdfles de plus en fdus approchées*

3. Pour compléter la démoDStration du n* 119, il faut considérer lé cas où le rapport de A à B, c'est-à-dire (118) le nombre par lequel il fout mjiltiplier B pour avoir A, est incommensurable. Désignons-le parr, et appelons m le nombre qui mesure A, B étant pris pour unité. Soient

d'ailleurs ^ et — ~-- tieux valeurs approchées à moins de j l'une par

défaut, l'autre par excès, du rapport r. On aura alors (118)

* il «

Le nombre m qui mesure A sera donc compris entre les nombres^ et

^ ' qui mesurent les deux grandeurs B • - 1 B • ^ B étant l*unité.

Donc les nombres m et r, étant compris l'un et l'autre entre deux nombres^ et qui différent aussi peu qu'on veut pour n assez grand , ne sauraient avoir une diflérenee assignable.

4. Pour compléter la démonstration du n° 125, il faut considérer le.

cas où le rapport—, est Incommensurable. Soient - et deux valeurs

approchées de ce rapport à ^ près, Tune par défaut, l'autre par excès. On aura

d*où, en désignant par « la partie de a*,

i(a <a < (it-l- 1) « et af=ina.

Mais si 6 est la valeur de B qui cx)rrpspond i\ la valeur a do A, aux valeurs /•a, (X -f-i)a, //a, de A correspondront respectivement les valeurs (X 4- i) ç, «6, de B. On aura donc, puisque, d'après l'énoncé, à une plus grande valeur de A correspond nécessairement une plus grande valeur de B,

it6<^<(X4-i)6 et ^' = «6,

e*eBl-à-dire

n n n tr n

Par suite, les deux rapports pi étant compris entre deux nombres ^

et ^4-^ qui, pour n assez grand, diffèrent aussi peu qu'on veut, ne sauraient avoir aucune différence assignable.