NOTIONS SUR LE LEVÉ DES PLANS ET L*AEPENTAÛE

Pmgbammb officiel : £ei>é au mètre. ~ Levé au graphontètre, — Levé à Véquerre d'arpenteur, — Levé à la planchette, jiire approchée d^une figure plane Hmiiée par une tourbe queteonque» — Fhlume approché d'un solide limité par une surface quelconque,

Ob/et du levé des plans,

1. En un lieu quelconque, on appelle verticale la direction du fil à plomb, et plan horizontal tout plan perpendiculaire à la verticale.

La terre a sensiblement la forme d'une sphère dont le contre est le point de concours de toutes les verticales; mais comme il faut se déplacer de 7. kilomètres sur la surface de notre globe pour que l'angle des deux verticales atteigne une minute, on doit, dans les opérations ordinaires de la topographie, supposer parallèles toutes les verticales, et par suite tous les plans horizontaux, aux divers points du terrain que Ton se propose de représenter.

On nomme fdan d'un 'terrain la projection de ce terrain sur un plan horizontal, ou plutôt une figure semblable à cette projection horizontale. Lever lè plan d'un terrain, c'est exécuter toutes les opérations nécessaires pour tracer cette figure sur le papier.

Dewription des wstrunœnts employés,

2. Jalon. — Sur le terrain, on indique la direction d'une ligne droite par des jalons, bAlons ferrés à la partie inférieure, que l'on plante dans le sol, et qui portent à leur extrémité supérieure une fente dans laquelle on insère un morceau de papier blanc destiné à rendre le jalon visible de loin. Théoriquement, il suffit de placer un jalon à chacune des extrémités de la droite ; mais si ces points extrêmes sont trop éloignés, on place sur la droite un ou plusieurs jalons intermédiaires. Pour que trois jalons soient exactement en ligne droite, il faut que le second jalon cache le troisième à l'oeil d'un observateur placé près du premier.

3. Chaîne et'fichcs. — Pour mesurer les distances, on se sert d'une chaîne, de lo mètres de long, composée de cinquante diaînons B, C, . . . ou liges de fer assemblées par des anneaux de môme métal {f^- 393); l'intervalle compris entre les centres de deux anneaux consécutifs est de 2 décimètres ; les anneaux A placés de mètre en mètre sont en cuivre, et

odui qui occupe le milieu de la chaîne est muni d*an petit appendice E : ces distinctions entre les anneaux facilitent la lecture des fractions de décamètre. La cbatne est munie à 'chacune de ses extrémités d'une poignée A dont la longueur est prise surodle du chaînon adjacent B qui est plus court que les autres.

Concurremment avec la dlaiQ^ on emploie dix ficlies [fiff. 394 }t petites tiges en fil de Ter terminées d'un côté par.un anneau, de l'autre par une pointe. •

Fig, 393. . -

Fig. 394.

Pour mesurer la distance qui sépare «deux jalons P et Q, le cha^ne^r d'avant part du point P et se dirige vers le point Q, en tenant d'une main une poignée de la chaîne et de Vautre les dix fiches; puis,^ tandis que le duOneur arrière applique l'autre poignée contre le jalon j^, le chalnèur

d'avant tend la chaîne sur le sol, et, après avoir obéi aux signes que liii fait le chaineur d'arrière pour l'amener dans l'alignement PQ, il planté dans le sol une flche qui touche intérieurement Ip bord de la poignée. Les deux opérateurs se relèvent et s'avancent jusqu'à ce que le chaîneur d'arrière arrive près de la fiche, contre laquelle il applique le bord extérieur de la poignée, et l'opération recommence à partir de cette fiche comme à partir du jalon P; seulement, le chaineur d'arrière ramasse la fiche au moment où il quitte l'emplacement de cette fiche. Lorsque le chaineur d'avant plante sa dernière fiche, la distance parcourue est de 100 mètres. On porte alors encore une fois la chaîne au delà; le chaineur d'arrière ramasse la dixième fiche en plaçant avec soin le bord de la poignée au point même où se trouvait la fiche ; le chaineur d'avant, aban^ donnant la dialne sur le solj vient prendre les dix fiches, puis, retour^ nant à son poste, il tend la chaîne, plante une fiche, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste moins de i décamètre pour atteindre le jaloii Q. Pour évaluer la fraction de décamètre, le chaineur d'avant place sa pmgnée contre le jalon Q, et le diaîneur d'arrière, abandonnant sa poignée^ tend hi chaîne entre lé jalon Q et la dernière fiche plantée; cela fait, il compte, à partir du jalon Q, les anneaux de cuivre, puis les anneaux de fer compris entre le dernier anneau de cuivre et la fiche, et il évalue à l'œil la fraction du dernier chaînon employé; il ramasse alors la dernière fiche et compte les fiches qui se trouvent à ce moment dans sa main. Si l'on a édiangé trois fois le paquet des dix fiches, si le chaineur d'arrière

lient à la fin sepi^fiches, et si entre la dernière fiche et le dernier jalon U a compté six anneaax de cuivre, deux chaînons et un quart de chai- • non, la distance mesurée est

L'erreur commise \vàv deux chaineurà exercés ne doit pas dépasser 1 décimètre par hectometro.

Nous avons suppost' le terrain horizontal : si l'on descendait une pente sensible, le chaîneur d'arrière tiendrait toujours sa poignée prèà du sol, mais le chaineur d'avant élèverait la sienne de manière à tendrp la chaîne à peu près horizontalement ; puis, à l'aide d'un fil à plomb, il déterminerait le point du sol où se projette l'extrémité de sa poignée et où le chaineur d'arrière doit placer la sienne dans l'opération suivante. De cette fisçon on mesure, non la distance des deux points, mais sa projection horizontale, qui est seule nécessaire, d'après ce que nous avons dit, pour lever le plan.

Fig. 395. Fig. 396. Fig. 397.

A. Équcrre (C arpenteur. — Cet instrument se compose d'une petite boîte en cuivre AA 396, 39O, 397 ) ayant la forme d'un prisme régulier à

Hom.

huit pans ; dans cette boite sont pratiquées quatre fentes suivant des génératrices diamétralenient q»po6ées deux à deux, de telle sorte que le plan de deux fentes opposées soit perpendiculaire au plan des deux autres.

Dans les équerres soignées, chaque fente est remplacée par une pinnule; on appelle ainsi une double ouverture composée d'une fente étroite ou œiBeton et d'une fenêtre plus large divisée en deux par un fil lendu dans le prolongement de la fente; deux pinnules opposées sont telles, que l'œilleton de chacune d'elles réponde à la fenêtre de l'autre. Cette boîte prismatique est vissée inférieurement sur une douille D ou tige creuse en cuivre, dans laquelle on engage l'extrémité supérieure du bâton ferré B qui porte 'rinstrument et qu'on plante vorticalemeni (hins le sol.

L'équerre sert à mener sur le terrain une perpendiculaire, par un point donné C, sur une droite donnée AB,

Si le pointe est sur la droite AB [fg. 398), on place l'instrument en ce point de manière que l'un des plans de visée coïncide avec celui des jalons A et B; il iaut pour cela qu'en plaçant Tœil successivement à l'un et à Vautre des deux oeilletons situés dans ce plan de visée, on voie le fil de la fenêtre opposée couvrir d'un côté le jalon A, de Tautie le jalon B. Cela étant, Tobservatenr se place à l'un des deux œilletons non encore employés, et il envoie, sur Talignement déterminé par cet œilleton et le fil opposé, un aide placer un jalon qui, avec la position actuelle de Téquerre, détermine la perpendiculaire demandée.

Si le point C est extérieur à la droite AB [fg. 399), on détermine approximativement et à vue le pied de la perpendicidaire, et l'on dispose réquerre en ce point de Diçon que Tun des plans de visée coïncide avec le plan des jalons A et B; puis, si par Toeilleton de Tautre plan de visée on aperçoit le fil opposé couvrir le jalon G, c'est qu'on a exactement le pied de la perpendiculaire. Sinon, si le jalon C apparaît, par eifflnple, à gauche du fil, c'est qu'on est trop à droite; on avance alors réquerre vers la gauche sur l'alignement^; si le jalon C ap})araît alors Il droite, c'est qu'on a trop avancé l'équerre ; on la recule en lui donnant une position intermédiaire, et ainsi de suite jusqu'à ce que le jalon C soit

Fig. 398.

Fie- 399-

couvert par le fil. Ce lâlonnement n'est pas long pour un observateur un peu exercé.

5. Graphowètre . — Le graphomètrc sert à mesurer les angles sur le terrain ; il se compose [Jîi;. 400) d'un demi- cercle en cuivre A dont le bord ou limbe est divisé en degrés et demi-degrés; autour du centre o pivote une règle ou alidade B portant à ses deux extrémités et perpendiculairement

Fijj. ^00.

à son plan deux pinnules b qui déterminent un plan de visée auquel on peut donner la direction d'un diamètre quelconque du limbe. Le diamètre qui termine le demi-cercle porte aussi à ses extrémités deux pinnules c fixes qui déterminent un plan de visée dirigé suivant la ligne o" -i8o".

ROTBS.

Tout le sysïème rapose sur une courte tige en cuivre tenninée par une sphère; cette sphère est prise entre deux mâchoires hémisphériques G que i*on peut serrer plus on moins à Taide d'une vis; ce support qui permet d'orienter à volonté le plan du limbe est connu sous le nom de genou à coquilles; il fait oorps avec une douille qu'on pose sur un pied à trois branches.

Pour mesurer un angle BAC, on place le centre de l'instrument au sommet A, et Ton amène le plan du limbe à contenir les points B et C, ce que l'on vérifie très-aisément en plaçant son œil près de ce plan; puis on dirige successivement l'alidade fixe vers le point B, l'alidade mobile vers le point C, et on lit sur la graduation la valeur de l'arc compris entre les deux lignes de visée. La manière de faire cette lecture exige quelques explications. L'alidade mobile porte à ses extrémités un jwrmer^ c'est'à-dire une petite graduation contenant qdnie divisions équivalentes à quatorze de celles qui, sur le limbe, indiquent des demh>degrés ; chaque di-

vision du vernier vaut donc i i e ) demi-degré, c'est-à-dire un demi-

degré moins 2 minutes. Gela étant, supposons que le zéro du vernier, qui correspond à la ligne de visée de Talidade mobile, .tombe entre 37* ^ et 38*, et que ce «oit la cinquième division du vernier qui coïncide exactement

avec une division du linibe ; le n** 4 du vernier dépassera alors de 2 minutes la division précédente du limbe, le n° 3 dépassera de 4 minutes la division * anté-précédente du limbe, et ainsi de suite, de sorte que le zéro du vernier dépassera de 10 minutes la division du limbe qui marque 37** \; l'angle mesuré vaudra donc 37"3o'-}- 10' ou 3"" 40' à 2 minutes près.

Dans le levé d'un terrain, ce n'est pas l'angle BAC qu'il faut mesurer, mais sa projection horizontale, c'est-à-dire l'angle rectiligne du dièdre formé par les plans verticaux qui passent par AB et AC. A cet etlet, le centre de rinslrument étant en A, au lieu d'amener le limbe à contenir les points B et C, on rend ce limbe horizontal à l'aide d'un niveau à bulle d air; pour que le demi-cercle soit horizontal, il suffit qu'en plaçant le niveau sur ce cercle, dans deux positions différentes, la bulle d'air vienne chaque fois au milieu du niveau, car le plan, ayant alors deux droites horizontales, est horizontal.

Si les différences de niveau du sommet A et des points B et C étaient alors trop fortes pour qu'on oessftt d'apercevoir à travers les pinnulee les jalons B et C, il fîudrait employer un graphomètre dans lequel les alidades à pinnules seraient remplacées par des alidades i lunettes plongeantes.

6. Planchette. — Cet instrument consiste dans une petite table carrée, en bois, A, sur laquelle on colle la feuille de papier qui doit recevoir le plan, et qui est reliée à un pied à trois branches par un genou à la Cugnot. Ce genou {^g. 401) est composé de deux cylindres dont les -nxes f et/' sont à angle droit, et autour desquels on peut faire tourner succès-

flivement la planchette; g et g' sont deux écrous qui, sui^nt qu'oa les serre ou qu'on les desserre, arrêtent ou laissent s'effectuer ces deux mouvements, qui permettent, à l'aide d'un niveau à bulle d'air, de rendre la planchette horizontale. La planchette A ne repose pas immédiatement sur le genou ; elle fait corps avec une seconde table C, qui peut tourner horizontalement autour de son centre en glissant sur un plateau circulaire D qui est fixé invariablement au genou à l'aide de deux collets H et H. Une vis de pression e permet, suivant qu'on la desserre ou qu'en la serre, de faire mouvoir la planchette horizontalement ou de la relier d'une manière inébranlable au plateau D.

Sur la planchetle, on pose une alidade à lunette ou à pinnules qu'on fait tourner autour de tel point qu'on veut à l'aide d'une épingle plantée en ce point et contre laquelle on maintient un de ses bords.

Fig.401.

Pour tracer sur la feuille de dessin 1 angle des deux plans verticaux déterminé par deux jalons B et C et un point A du terrain, on porte la planchetle au-dessus du sommet Â; on la rend horizontale, puis, en desserrant la vis on la lait tojirner jusqufà ce que le point du papier que Ton veut prendre pour sommet de «l'angle se projette au point  du sol. On fixe une épingle en ce point du papier, et en faisant tourner le bord de l'alidade autour de cette épingle, on vise successivement les jalons B et C, en ayant soin, après chaque visée, de tracer au crayon un trait, le long du bord de l'alidade qui s'appuie sur l'épingle : ces deux traits figurent l'angle detnandé. Il n'est pas indispensable que l'épingle se projette très-exactement sur le point A du sol : une erreur de 3 ou 4 centimètres n'influe pas sensiblement sur les résultats, vu l'échelle à laquelle on opère ordinairement.

KOTBS.

Priiici^jcs (les iiiétiiodcs suivies dans le lève des phius.

7. Toutes les manières d'opérer dans le levé des plans se raltachent eti définitive à deux méthodes principales dites, l'une méthode par intersections, Faulre méthode de cheminement.

Soit, par exemple, à lever le plan d*an polygone ÂBCDB... (Jfg, 4o3).

Pour opérer par intersections, on choisit sur le terrain deux points M et N d'où Ton aperçoive tous les sommets A, B, C, D, E,. . . . En se plaçant en M, on mesure les angles que la droite MN fait avec les rayons visuels menés de H aux divers points A, C, D, E,. . puis on mesure MN, et arrivé en|N, on mesure les angles que la droite NM lait avec les rayons visuels menés de N aux sommets A, B, ,C, D, B,. . . . Un sommet quelconque du polygone A6CJ)E . . . , B par exemple, est alors déterminé de position par rapport à la Ifose MN, puisqu'il est rinlersection de deux droites MB, NB, qui font avec HfN des angles connus. La base MN doit avoir une étendue assez grande; elle j^eut être un côté ou une diagonale du polygone, ou une droite située dans le voisinage des points à lever.

Pour opérer par cheminement ^ on part do l'un dos sommets A et l'on mesure successivement les côtés et les angles du polygone; le polygone sera ainsi détermine, mais il importe à la fin de l'opération, lorsqu'on est revenu au j^oint de départ, de vérifier si la somme des angles mesurés tait autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux. Si cette vérification laissait une erreur notable, il iaudrait recommencer en tout ou en partie.

La méthode des intersections est très-expéditive : elle est avantageuse dans le cas des terrains découverts, pour la détermination des pointsinaocessibles, etc.; il faut avoir soin toutefois que les angles sous lesquels se coupent les deux droites qui déterminent chaque point ne soient pas trop petits.

La méthode de dieminement permet de suivre les sentiers, les clôtures, les cours d*eau ; elle est seule applicable aux terrains qui offrent des obstacles à la vue.

On emploie d'ailleurs souvent simultanément les deux méthodes dans un même levé, suivant les parties du terrain que Ton veut représentor..

8. Ces principes posés, voici la manière de mettre en œuvre les deux méthodes suivant les instruments qu'on emploie.

Levé aa mètre ou à la chettne. — On peut opérer avec la chaîne seule, et tout revient à expliquer comment on peut alors mesurer un angle. A partir du sommet, on mesure sur les côtés deux longueurs égales ou inégales; puis, la distante qui sépare les extrémités des deux longueurs ainsi mesurées sur les côtés. L'angle inconnu appartient- ainsi à un triangle dont on connaît les trois côtés.

On conçoit que ce procédé fort long ne doit être appliqué qu'aux levés de peu d'étendue; il est utile snrtoul dans le levé des bàliments, où Ton opère avec un décamètre en toile ou un nibnn métallique. Il sert aussi à rattacher certainâ détails aux lignes principales déjà levées par une autre méthode.

Levé à l^équcrrc (Varpcntvur. — On détermine à l'équerre [ft^. 4o'2), sur une base OX indiquée par deux jalons 0 etX, les pieds A, B, C, D, E. des perpendiculaires abaissées des sommets />, c, r/, f, du polyi,'onc à lever; puis on mesure à l aide de la chaîne les longueurs OE, EA, AD, DB^BC, et les perpendiculaires ka^ Bé, Ce, D^/, £e. U est clair que cette tnétbode n'est au fond que la méthode par intersections; car les perpendiculaireg sont les distances au point 0 des projections A', B', C\ D', £', des sommeis, sur un second axe OY perpendiculaire à OX,. et chaque sommet du polygone se trouve à Tintersection de deux droites, Tune perpendiculaire à OX, Tautre perpendiculaire à 0Y>

Ce procédé est utile pour rattacher certains- détails à une lig;ne principale déjà connue OX; il sert dans le tracé des routes, dans le relèvement -des rues, des boulevards, etc.

Levé au grapfwmètre. — Le levé à la chaîne et au graphomèlre est le plus précis ; il n'exige d'ailleurs aucune explication nouvelle : on peut opérer par cheminement ou par intersections.

Levé à la planchette, ~ Ce procédé est le plus expéditif, lorsqu'on opère par intersections; ïnais il est moins exact que le précédent.

Pour lever par intersections, à l'aide de la planchette, un polygone ÂBCD£... {Jig* 4o3), on mesure la base et on trace sur la planchette

une droite mn, qui représente la base MN \\ l échelle adoptée. Cela fait on met la planchette en stiition au poiiiî M, de manière (jue /// se projette en M, et que la droite w/< soit dirigée suivant MNj puis, avec l'alidade, on

trace \é& lignes mb\ me — , qui répondent aux rayons visuels MB, UC,.'..; on porte ensuite la planchette en N, de manière que n se projette sur N et que nm soit dirigée suivant NM, et à l'aide de l'alidade

on trace les droites nh, ne,,.., qui répondent aux rayons visuels NB, NC,.... En réunissant par des lignes droites les points b, r,..., obtenus, on a sur I0 feuille do papier le plan du ])nlygone à Téchelle voulue.

Nous n'avons rien à ajouter sur la marche à suivre pour opérer par cheminement. D'ailleurs la méthode de cheminement ne doit être appliquée à la planchette que dans les cas forcés, à cause des nombreuses mises en station qui exigent beaucoup de temps et entraînent des aecumulations d'erreur.

On peut, avec la planchette, suivre dans certains cas un troisième pro-* cédé dit jjar rdyonneiucnt et qui consiste à mettre l'instrument en stntion vers le centre du polygone et à diriger l'alidade vers tous les sommets. Apres avoir tracé au crayon les lignes correspondantes, on mesure sur le terrain les distances qm séparent la station des divers sommets du polygone, et en rapportant sur la feuille de dessin, à partir de l'épingle, ces longueurs à l'échelle adoptée, on obtient les divers sommets du polygone, qu'il ne reste plus qu*à joindre deux à deux par des droites.

Marche à sitivre pour lever un terrain; ievé du canews et des détaâs:

9. Lorsqu'on a un terrain à lever, on doit commencer pa^* choisir dans toute son étendue un certain nombre de points remarquables, convenablement espacés, et formant un polygone ou un assemblage de polygones contigus, auquel on donne le nom de canevas. On lève ce canevas, puis on rattache à ses divers côtés tous les détails qu on fait ligurer sur le plan. Cette séparation de Topéralion en deux parties évite l accumuiation des erreurs.

Le levé du canevas doit être fait avec un très-grand soin ; il conv'ent de l'exécuter au graphomètre et à la chaîne, soit par cheminement, soit par intersections, soit par ces deux méthodes combinées; on peut aussi reffectuer à la planchette, mais toujours un peu alors aux dépens de l'exactitude.

Quant aux détails, on peut les relever, soit au graphomètre, soit à l'équerre, soit au mètre, comme nous l'avons expliqué; mais le mieux et le plus court est d'employer» si Ton peut, la planchette, en opérant pat intersections et en prenant pour base de chaque levé partiel un côté du canevas.

. Lorsqu'on a terminé toutes les opérations sur le terrain, il ne reste plus qu'à dessiner, d'après tous ces documents, le plan du terrain sur une feuille de papier; cette opération n'exige aucune explication, et il nous suffît de renvoyer à tout ce que nous avons dit sur les constructions

graphiques dans ia Géométrie plane. Nous ajouterons seulement un mol sur les échelles employées. Les échelles prescrites dans le service des Fonts et Chaussées sont

looo 2000' -Ajoa 5ooo 10000

On emplDiB encore Téchelle ^ pour les plans des portions de villes ou villages traversées par des routes, l'échelle — pour les ouvrages d*art compliqués, et enfin les échelles irr* --9 pour certains détails relatifs

dO 10 V

«1 matériel des chemins de fer, à certains ouvrages en charpente, etc.

10. Varpentagc a pour objet la mesure de l'aire d'un. terrain; on suit pour cda k méthode indiquée pour le levé à Téquerre.

Si le térrain a la forme d'un polygone (7%. 4o4)« après avoir placé des jalons aux sommets, on prend pour base la plus grande diagonale, sur la-

quelle on détermine à Téquerre les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets du polygone; puis on mesure successivement à la chaîne les divers fragments de la base et les diverses perpendiculaires. On a donc tous les éléments nécessaires pour calculer les aires des trapèies rectangles et des quatre triangles extrêmes dans lesquels le terrain se trouve décomposé.

Si l'un des côtés du polygone est très-grand par rapport aux autres, on peut le prendre pour base.

Si le contour est curviligne [Jîg. 4o5), on inscrit dans ia courbe un polygone en faisant le tour du terrain et plantant des jalons assez rapprochés pour que les parties extérieures à ce polvîiune n'aient pas une étendue trop considérable. On mesure le polygone comme nous venons de l'expliquer, puis, pour évaluer les segments tels que A/;/B, on divise la corde AB en un nombre de parties égales assez grand pour qu'en élevant des perpendiculaires sur la corde, les [»ortions de courbe interceptées puissent être assimilées à des lignes droites. Connaissant la longueur d'une division de la corde et les diverses perpendiculaires, on calcule les

trapèzes -el les deux triangles extrêmes qu'on a formés. Ce procédé, connu sous le nom de méthode des trapèzes, est presque toujours suffisamment exact; nous donnerons d'ailleurs dans l'article suivant une%iéthode plus précise pour évaluer les aires terminées par des courbes.

Fig. 4o5. Fig. 4o6.

Enfin, si l'intérieur du terrain est inaccessible (^.406), on Pentours d'un rectangle, et l'on retranche de l'aire de ce rectangle Taire do la figure comprise entre le contour du terrain et les côtés de ce quadrilatère, après qu'on a évalué cette aire par décomposition en rectangles et trapèzes, à Taide de porpendiculairos abaisséesdes sommets du polygone - sur les côtés du rectangle extérieur.

Aire approchée d'une figure plane terminée par une courbe quelconque,

1 ) . R et B' désignant les bases d'un trapèze, B" la parallèle équidis^ tante de ces bases et h la demi-hauteur, on peut exprimer l'aire du trapèze par la formule

qui se réduit en efiet à la formule connue A (B -H B'), lorsqu'on y remplace B* par sa valeur ^(B + B').

Cela posé, soit à évaluer apjjioximdLivement l aire comprise entre un arc de courbe quelconque AB, une droite (ixe XY et les perpendiculaires AA', BB', abaissées sur cette droite par les extrémités de l'arc AB [Jig. 407).

Fig. 407.

X t> G~ V if T 0' ff V v'v r î Supposons d'abord que l'arc AB soit , dans toute son étendue, concave

NOTSS. . 4%)

vers la droite XY. Divisons la base A'B' en un nombre pair de parties égaleSt en dix par exemple, et par les points de division C, IV, E', F, G', H', r, K', L', élevons des perpendiculaires à XY. Désignons respectivement par Xv /tt Xit""* Jii» 1^ perpendiculaires ou ordonnées kk!^ GC', DD',. . BB', et par h la distance constante de deux ordonnées conséeu- ^ tives. C, étant le point où la corde AD coupe GG', on aura pour l'aire^ du trapèze rectiligne ADD'A'

|(AA'-hDD'+4C.C');

mais ce trapèze est moindre que le trapèze curviligne AGDD'A', et il convient de l'augmenter; on est ainsi conduit ù remplacer G^G' par CC', et à prendre pour valeur approchée de l'aire du trapèze curviligne AGDD'A' Texpression .

En prenant de même

I (Jî+Z^H- 4 V,), -jt/^H- 4.r,.)

pour expressions des aires des trapèzes curvilignes DFK' D', FHH'F', HKK'H', KBB'K', et faisant la sonnno, un obtient pour valeur approchée de Taire demandée

On retiont aisément celle formule, altribuée à Simpson, en la mettant sous la forme

(?) S=|(E4.aI + 4P).

dans laquelle E désigne la somme des deux ordonnées exlrftmes, I la somme des autres ordonnées de rang impair, et P la somme de toutes les ! ordonnées de rang pair.

Si Tare AB était convexe dans toute son étendue vers la droite XY, une • marche analogue conduirait à la même formule. Si cet arc était en partie concave et ( n partie convexe, en faisant passer une perpendiculaire à XV parle point d'inflexion, on mesurerait, d'après la règle précédente, les aires situées de part et d'autre de cette perpendiculaire et on en ferait la somme.

Pour le quart de cercle de rayon i, on trouve, en divisant le rayon en