LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 2r

sommet en deux parties égales. Cela résulterait aussi de l'éi^alité des triangles ADI, AGI, qui ont évidemment les trois côtés égaux chacun à chacun.

La droite Al satisfait donc aux quatre conditions suivantes : elle passe par le sommet Â, par le milieu I de la base BG, elle est perpendiculaire sur cette base» elle est bissectrice de l'angle au sommet.

Or, deux de ces quatre conditions suffisent pour déterminer la droite AI; car on sait que par deux points on ne peut mener qu'une droite, qu'un angle n'admet qu'une bissectrice, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite. Donc, toute ligne droite, assujettie à deux des quatre conditions indiquées, remplira nécessairement les deux autres.

38. L'n triangle équifatéral a ses trois angles égaux, et, réciproquement, tout inan^le dont les trois angles sont égaux est équilatéral*

39. Le mode de dcmonslraiion qui précède (30) est d'un usage trcs-frcqueni en Géométrie, et il convient de l'ériger dès à présent en règle généiale.

Lorsque, dans une proposition ou dans une série de propo- SiiionSf on a fait toutes les hypothèses admissibles, et que ces hypothèses ont conduit à des oonolusians respectives essentiel^ ùment distinçtes, les réciproques des propositions établies sont toutes vraies.

Ainsi, en rapprochant les théorèmes démontrés aux n** 33 et 33, on voit que si deux triangles ABC, A'BX', ont deux ^tés respectivement égaux chacun à chacun, savoir AB = A' B',

AC = AfU, le troisième côté BG du premier triangle est inférieur, égal ou supérieur au troisième côté B'C du second, suivant que l'angle opposé A du premier triangle est inférieur, égal OU supérieur à l'angle opposé A' du second. Donc réciproquemenr, */ deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, l'angle que ces côtés comprennent dans le premier triangle est inférieur, égal ou supérieur à l'angle compris entre les d'eux côtés correspondants du second triangle, suivant que le troisième côté du premier triangle est inférieur, égal ou supérieur au troisième côté du second.

aa GÉOHtTRIB PlJLlfB.

EXERCICES

1. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme des droites qui joignent un point intérieur quelconque aux trois sommets, et moindre que le double de cette somme. Considéier le cas OÙ le point qu'on joint aux trois sommets est extérieur au tringle.

8. Une médiane quelconque d'un triangle, c'est-à-dire la ligne qni joint un sommet au miliea da côté opposé, est moindre que la demi-somme des deux côtés issus du même sommet, et plus grande que la moitié de Texcèe de cette somme sur le troisième côté.

8. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme de ses trois médianes et moindre que le double de cette somme.

4. ABC étant un triangle quelconque, on prend sur AB, prolongé s'il le faut, une longueur AC égale à AC; on prend de môme sur AC une longueur AB' égale à AB, on tire B'C qui coupe BC en I : démontrer que la droite AI est la bissectrice de l'angle BAC.

5. I étant le milieu de la base BC d'un triangle isocèle ÂBC et M un point pris à volonté sur le côté AC, démontrer qtie la différence des longueurs 1^ et IM est moindre que celle des longueurs ^ et AM.

6. Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun et une médiane égale (deux cas).

7. Dans toute figure formée par des triangles juxtaposés, l'excès du nombre des côtés sur le nombre des sommets est égal au nombre des triangles moins un.

8. On donne un triangle ADB dans lequel l'angle B est plus grand que Vangle A, et un point C situé par rapport à AB du même côté que le triangle, et tel que