LIVRE I. — LA LIGNE DROITE

issue du même point C, et située du même côté de la perpendiculaire CA. Donc GB et C'B' s'écartc^rom également du pied de cette perpendiculaire (4^); en d'autres termes, le point B' tombera en et les deux triangles coïncideront.

THÉORÈME

50. Tout point M pris sur la bissectrice kDd'un an^e BAC est également distant des deux côtés de cet angle {ftg, 34 ).

Fi«. 34*

La dislance du point M au côté AB est la longueur de la perpendiculaire ME abaissée du point M sur AB ( 41 ) ; de même» la perpendiculaire MF, abaissée du point M sur AG, mesure la distance du point M au côté^G» |l s'agit de démontrer l'égalité de ME et de MF. Or, cette égalité résulte de celle des deux triangles MAE, MAF, qui, rectangles en E et en F, ont l'hypoténuse AM commune et un angle aigu égal, savoir MAE=;.MAF puisque la droite AD est la bissectrice de l'angle BAC.

51. Réciproquement, tout point M pris à l'intérieur d'un anglel^XC, à t-^ule distance = de ses deux côtés AB et AC, appartient à la bissectrice de cet angle [Jig. 34).

En effet, en menant la droite MA, on obtient deux triangles rectangles, MAE, MAF, qui sont égaux comme ayant l'hypoténuse MA commune et un côté de l'angle droit égal : ME =MF. Donc, l'angle MAE opposé au côté ME est égal à l'angle MAF opposé au côté MF, et la droite AM est la bissectrice de Fangie BAC.

Corollaire.

Sâ. La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des points qui, situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidis^ tants de ses côtés*

l8 GfiOMtTBIB PLARS.

Sgolib.

53. Pour claljlir un lieu gcométrîqiie, il faut toujours prouver une double proposition composée, soit d'une certaine proposition directe et de sa réciproque, soit de celle même proposition directe et de la proposition contraire.

Ainsi Ton démontrera: que tout point d'une cerlaiïje ligure jouit d'une certaine propriété ( proj)Osilion directe), et que tout point jouissant de cette, propriété apparlienl à celte ligure ( proposition réciproque } ;

Ou bien: que tout point d'une certaine figure jouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que tout point pris hors de cette Ûguce ne jouit pas de cette propriété (proposition contraire).

L'équivalence de ces deux modes de démonstration résulte de ce que la proposition directe, sa réciproque et la proposition contraire sont tellement liées, que Tune quelconque des deux dernières est une conséquence des deux autres (19). ' Il est ordinairement plus simple d'adopter le premier mode, c'est-à-dire de démontrer la proposition directe et sa réciproque; cela tient à ce que la proposition contraire exige toujours une figure différente de celle qui est relative à la proposition directe, tandis que la réciproque n'exige pas en général une figure nouvelle.

EXEEaCES.

1. Trouver le lieu géométrique des points également distants de doux droites indéfioleB qui ae conpent.

2. Les distances dos extrémités de la base d'un triangle iaocèlo aux côtés opposés sont égales entre elles.

3. On dit que deux joints A et A' sont symétriqius- par rapport à une droite indéfinie XY, lorsque culte droite XY est perpendiculaire sur le milieu de ÂÀ'. Démontrer, d'après cette définition : i'*que si A' et B' sont les symétriques par rapport à XY de deux points quelconques À et B, les deux droites symétriques AB et Â'B' sont égales entre elles; a* que l'angle CAB de deux droites AB et AG est égal à l'angle C'Â'B' de leurs 8]pmélriques A'B' et A'C

4. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène la droite indéfinie XY perpendiculaire sur la bissectrice de l'angle A. Démontrer que» si M est

f un point quelconque de XY, le périmètre du triangle BMC est plus grand que celui du triangle primitif ABC.