LIVRE I. — LA LIG>E DROITE. 3l

diculairOy devant être parallèle à AB (56), coïncidera avec CD, puisque par le point F on ne peut mener qu'une parallèle à AB. Donc, CD est perpendiculaire sur £F et, inversement, EF est perpendiculaire sur CD.

On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide, en disant : Deux parallèles ont leurs perpendiculaires com-^ munes»

THÉORÈME

62. Lorsque deux droites parallèles AB, CD, sont rencontrées par une sécante £F, les quatre angles aigus formés autour des points d'intersection G et U sont égaux entre eux, ainsi que les quatre angles obtus formés autour des mêmes points {Jig. 3g).

Fig.39.

En effet, par le point 0, milieu de GII, menons sur les parallèles AB et CD la perpendiculaire coinniuue IK ; 01 tombera dans l'angle aigu OGA et OK dans l'angle aigu OIID (4-2). Or, les triangles rectangles CGI, OHK, ont leurs hypoténuses OG e^OH égales, puisque le point 0 est le milieu de GH, et les angles aigus lOG, HOK, égaux comme opposés par le sommet : ils sont donc égaux (49) et, par suite, l'angle OGI est égal à l'angle OHK. Chacun de ces deux angles étant d'ailleurs ' égal à son opposé par son sommet, on voit que les quatre angles aigus OGI, EGB, OHK, CHF, sont égaux entre eux.

De même, les quatre angles obtus AGE, OGB, ,DHF, OHG, ; sont aussi égaux entre eux, comme suppléments des angles ! aigus.

63. Réciproquement, deux droites AB et CD étant coupées par une sécante EF, si les quatre angles aigus ou les quatre angles obtus formés autour des points d'intersection G et H sont gaux entre eux» les deux droites AB e< CD sont parallèles.

32 GÉO.^ÉTUIE PLANE.

Supposons {fig»io) que l'angle UGA soit égal à Tangle GlID, et concevons par le point II la parallèle à AB. Cette parallèle doit, d*après la proposition directe, faire avec GH un angle égal à l'angle HGA, et, par suite, à l'angle GHD ; donc cette parallèle coïncide avec HD, et la droite CD est parallèle à AB.

Corollaires.